文档介绍：概率论与数理统计主讲:赵敏§ 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式一、条件概率的概念已知一批产品有 100 个,其中 15个为一等品,在这批产品中一车间生产的有 75个,而在第一车间生产的产品中有 10个为一等品,今任取一个产品,问它是一等品(事件 A)的概率是多少?又若已知抽取的产品是第一车间生产的(事件 B),问它是一等品的概率是多少? 上述两个问题虽然都是求一等品的概率,但前者是在这批产品 100 个中考虑的,而后者却是在第一车间生产的产品 75个中考虑的,因而所求的概率不同,前者为, 100 15 后者为. 75 10???? 75 10 , 100 15??BAPAP为了区别这两种概率,我们分别记例2袋中有 7只白球, 3只红球, 白球中有 4只木球, 3只塑料球; 红球中有 2只木球, 1球, , 问它是木球的概率是多少? 设A表示任取一球,取得白球; B表示任取一球,取得木球. 古典概型所求的概率称为在事件 A发生的条件下事件 B发生的条件概率。记为?? ABP 解列表 10 37小计 413塑球 624木球小计红球白球?? 7 4?ABP AB ABkk??4 AAkn???7从而有?? A ABk kABP??7 4 10 /7 10 /4????n k n k A AB)( )(AP AB P? : 若( ,F,P)是一个概率空间, BF,且 P(B) >0 ,则对任意的 AF,称为在事件 B已发生的条件下,事件 A发生的条件概率。??????? BP AB PBAP??(1)古典概型可用缩减样本空间法(2)其他概型用定义与有关公式条件概率的计算方法?) 还是女孩是等可能的(假定一个小孩是男孩大? 孩也是女孩的概率为多女孩,问这时另一个小,已知其中一个为一个家庭中有两个小孩例. 3.),( { .),( ),,(),( A .),( ),,(),(),(} 女女{ 另一个也是女孩} } 女女男女, 女男{ {已知一个是女孩} 设} 女女男女, 女男, 男男{ 据题意,样本空间为解?????? 14/3 4/1)( )(A|B???AP AB P P) ( 于是所求事件的概率为不难验证,条件概率具有概率的三个基本性质: (1)非负性: ?? 0?BAP (2)规范性: ?? 1??BP (3)可列可加性:对任意的一列两两互不相???,2,1?iA i有?????????? 11 i ii iBAPBAP ?容的事件类似于概率,还可导出条件概率其它的一些性质?? 0??BP (4) (5) 若两两互不相容,则 nAAA,,, 21????????? ni i ni iBAPBAP 11??????? BCPBAPBCAP???若,则 AC?(7) (8)对任意事件 A、C,有???????? B AC PBCPBAPBCAP????一般地: ?????????? BAAAPBAAPBAPBAP n n ninji jii ni i??? 21 11 11????????????(6) 对任意事件 A,???? BAPBAP??1 解设B=“灯泡用到 5000 小时”,A=“灯泡用到 10000 小时”???? 2 1,4 3??APBP 我们知道用到 10000 小时的灯泡一定用了 5000 小时,即,BA?所以 AB=A ,???? AP AB P??????? BP AB PBAP?这表明,用了 5000 小时的灯泡再用到 10000 小时的可能性比没有用过的新灯泡用到 10000 小时的可能性大,这是很自然的,因为前者已经剔除了那些没有用到 5000 小时的质量较次的灯泡。于是, 例4 某种灯泡使用 5000 小时未坏的概率为,使用 10000 小时未坏的概率为,现有一只这种灯泡已经使用了 5000 小时未坏,问它能用到 10000 小时的概率是多少? 4321?????? AP BP AP?????2 13 24 3 2 1 二、乘法公式?????? BPBAP AB P?().?????? APABP AB P?上式称为随机事件概率的乘法公式. 若,由条件概率定义,可得( ) 0 P B ?)0)(( ?AP 定理:两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积。即: ?????? BAPBP AB P??????? ABPAP AB P?下面我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。