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几何图形的计数
在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数像例4那样的图形
但分割的块数越少越好
思考：原图中平行四边形的个数是否等于60？
假设分为如下图所示的两块，那么每块中的
平行四边形的个数都是
思考：如最右侧的图形中也有30个平行四边形，
那么原图中平行四边形的个数是否是3×30=90？
不是90，还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各9个平行四边形，因为这18个
平行四边形已经包含在前60个之中．
所以，原图形中平行四边形的个数是90－18=72．
注意：在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复计数的！
例5 如左、中、右三图，各包含多少个正方形？
为便于叙述，我们设一个小正方形的边长为1，那么
左图中边长为1的正方形的个数是
3×2=6
边长为2的正方形的个数是
2×1=2
所以左图中共有正方形 3×2+2×1=8（个）
中图中边长为1的正方形的个数是
4×3=12
边长为2的正方形的个数是
3×2=6
边长为3的正方形的个数是
2×1=2
所以中图中共有正方形 4×3+3×2+2×1=20（个）
右图中边长为1的正方形的个数是
6×4=24
边长为2的正方形的个数是
5×3=15
边长为3的正方形的个数是
4×2=8
边长为4的正方形的个数是
3×1=3
所以中图中共有正方形 6×4+5×4+4×2+3×1=50（个）
如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设m≥n）小正方形，
那么图中正方形的个数是mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)
这里所采用的方法是分类法中的另一种，是：
（3）按照图形的大小分类
例7
A
B
C
K
D
E
F
G
H
L
第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁个
你打算怎样数图中的三角形？
5
第2类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个
5
第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个
10
第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个
5
第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个
5
5
第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个
所以图中的三角形共有35个
这里所采用的方法是分类法中的另一种，是：
（4）按照图形的形状分类
也可以说是
（5）按照图形所处的位置分类
例8（华罗庚金杯竞赛题）下图中有 个正方形，有 个三角形．
能否将图中的正方形分类，按照不同类型分别数出其中的正方形个数？
6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=91
除上一类为，还有 个正方形
4
共有95个正方形
这里所使用的方法是分类法中的（4）按照图形的形状分类
6×6×2=72个
直角边长为1的三角形有
1--2行
2--3行
3--4行
4--5行
5--6行
直角边长为2的三角形
8个,
6个,
2个,
8个,
6个,共30个
4个,
2个
直角边长为3的三角形 1--2行
3--5行
4--6行
4个,共10个
思考：还有漏数的三角形吗？
各4个,共12个
3个
1个
斜边长为2的三角形1--3行
第4行
第5行
第6行
4个，共计20个
1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个）
思考：还有漏数的三角形吗？
思考：还有漏数的三角形吗？
斜边长为4的三角形
直角边长为4的三角形
3--6行2个
所以图中的三角形共计72+30+10+2+20+17+4=155（个）
这里用了分类法中的（3）按照图形的大小分类（之后又按图形所处位置分类）
1-4行1个
,2-5行2个，
4-5行1个，共4个
分为两类，一类是有一组对边在水平方向的正方形，如左图
这类正方形的个数是
课后反思总结
计数方法：
1．分类计数法
（1）按照包含同一图形分类；
（2）按照图形所包含的“基本图形”的个数分类。
（3）按照图形的大小分类；
（4）按照图形的形状分类；
（5）按照图形所处的位置分类．
2．对应计数法
几个计算公式：
1．