文档介绍：1 高数求极限方法总结及其例题详细解答 : 说明:( 1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5)13( lim 2???x x ( 2 )在后面求极限时,( 1 )中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 1已知)( lim xf ,)( lim xg 都存在,极限值分别为 A, B,则下面极限都存在, 且有( 1)BAxgxf???)]()( lim[ ( 2)BAxgxf???)()( lim (3))0(,)( )( lim 成立此时需??BB Axg xf 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 2 ,再利用极限运算法则求极限例11 213 lim 1????x x x解:原式=4 3)213 )(1( 33 lim )213 )(1( 2)13( lim 1 221?????????????xx xxx x x x。注:本题也可以用洛比达法则。例2)12( lim ?????nnn n解:原式=2 311 21 3 lim 12 )]1()2 [( lim???????????????nn nn nnn n n n 分子分母同除以。例3 nn nnn32 3)1( lim ?????解:原式 11)3 2( 1)3 1( lim 3???????n nn n 上下同除以。 ( 1)1 sin lim 0??x x x(2)ex xx??? 10)1( lim ;ex xx????) 11( lim 3 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 例如: 13 3 sin lim 0??x x x,ex xx???? 2 10)21( lim ,ex xx???? 3) 31( lim ;等等。利用两个重要极限求极限例 5 203 cos 1 lim x x x??解:原式=6 1)2 ( 12 2 sin 2 lim 3 2 sin 2 lim 2 20 2 20?????x xx x xx。注:本题也可以用洛比达法则。例 6 xxx 20) sin 31( lim ??解:原式= 6 sin 6 sin 3 10 sin 6 sin 3 10]) sin 31 [( lim ) sin 31( lim ????????????exx x xxx x xxx。例 7 nnn n)1 2( lim ????解:原式=。3 1 33 11 33 1])1 31 [( lim )1 31( lim ??????????????????????enn n nnn n 2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是 0)。定理 3当0? x 时,下列函数都是无穷小(即极限是 0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1 ln( x?~1? xe 。说明:当上面每个函数中的自变量 x换成)(xg 时(0)(? xg ),仍有上面的等价关系成立,例如:当 0? x 时, 1 3? xe ~x3 ;)1 ln( 2x?~ 2x?。定理 4 如果函数)( ),( ),( ),( 11xgxfxgxf 都是 0xx?时的无穷小,且)(xf ~ )( 1xf ,)(xg ~)( 1xg ,则当)( )( lim 1 1 0xg xf xx?存在时, )( )( lim 0xg xf xx?也存在且等于 4 )(xf )( )( lim 1 1 0xg xf xx?,即)( )( lim 0xg xf xx?=)( )( lim 1 1 0xg xf xx?。利用等价无穷小代换(定理 4)求极限例9) arctan( )31 ln( lim 20x xx x??解:)31 ln( 0xx??时, ?~x3 ,) arctan( 2x ~ 2x , 原式=3 3 lim 20???x xx x。例 10xx ee xxx sin lim sin 0???解:原式=1 sin ) sin ( lim sin )1( lim sin 0 sin sin 0?????????xx xxexx ee xx xxxx。注:下面的解法是错误的: 原式=1 sin sin lim sin )1()1( lim 0 sin 0????????