文档介绍：空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法
作者：吴平 指导老师：张亚楠
寸商要：介绍南线积分，曲面积分的基本定义并探讨曲线曲面积分在空间上的基本的计算方法，一般的曲 线曲面积分的参数方程可以利用公式计算，如利用高斯公式，斯托克斯，格林公式求=x,y=l(l〈x〈2)的线积 分为：
错误!未找到引用源。
沿直线DB： x=2,y=y, (l<x<3)的线积分为：
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。dy=O
沿直线BA的线积分为：
错误!未找到引用源。dy
。错误!未找到引用源。
所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+0+(-错误!未找到引用源。)=-错误！ 未找到引用源。
两类曲线积分的性质以及联系：
虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型，且有着不同的性质，但在 一定的条件下，如在规定了曲线方向之后，可以建立他们之间的联系。
设L为从A到B的有向光滑曲线，它以弧长s为参数，于是
L错误!未找到引用源。0〈s〈l
其中L为L的全长，且A与B的坐标分别为(x(0),y(0))(x(l),y(l)).曲线上每一点的切 线方向指向孤长增加的一方，现以(t,x) (t, y)分别表示为切线方向t与x轴与y轴正向 的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦是
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。
1
错误!未找到引用源。 若P (x,y) ,Q(x,y)为曲线L上的连续函数，则有：
错误!未找到引用源。Q(x(s),y(s)错误!未找到引用源。ds
=错误!未找到引用源。 2
最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式，这里指出当二式左边第二型曲线 积分的L改变方向时，积分值改变符号，相应在二式右边第一型曲线积分中，曲线上各点 的切线方向指向相反的方向，(即指向弧长减少的方向)这时的夹角(t,x) , (t,y)分别与 原来的夹角相差一个孤度错误!未找到引用源。，从而都要变号，因此一旦方向确定了公式 2总是成立的，这样根据条件1和2便成立了两种不同类型的曲线积分之间的联系。
3空间曲面积分的方法：
第一曲面计型算方法设S为空间中可求面积的曲面,f (x, y, z)为定义在S上的函数， 对曲面S作分割T,把S分成n个小曲面块错误!未找到引用源。(i=l,2,3 )，以错
误!未找到引用源。记小曲面块错误!未找到引用源。的面积，分割T的细度错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。，在任取一点(错误!未找到引用源。)(i=l, 2,3,4 ),
若极限
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错误!未找到引用源。存在，且与分割T与(错误！未找到引用源。)(i=l,2,3 )
的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分，记着
P f(x,y,z)dS
s
特别的，当f(x,y,z)=l时，曲面积分错误!未找到引用源。就是曲面块S的面积。
例三：计算错误!未找到引用源。，其中S是球面错误!未找到引用源。+错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。被平面z=h(0〈h〈a)所截得的顶部
解：曲面S的方程为z=错误!未找到引用源。，定义域D为圆域：错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。《错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。
由于错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。所以由公式可求得错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。dxdy=错误!未找到引用源。rdr
=2错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。a错误!未找到引用源。
对于由参数形式表示为的光滑曲面：
错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。在D区域内
则在S上第一型曲面积分的计算公式为
错误!未找到引用源。dudv其中
(E = xu2+yus 4-Zu2
=xu^+yuyv + Zu^
(C? = ^r2 + yvs+Zv2
这里还要求雅可比行列式错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用 源。中至少有一个不等于零。
第二型曲面积分
设P,Q，R为定义在双层曲面S上的函数，在S所指的一侧作分割T,它把S分为n个小 曲面错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。分割T
的细度I | =错误!未找到引用源。的直径，以错误!未找到引用源。，错误!未找到 引用源。，错误!未找到引用源。
分别表示为错误!未找到引用源。在三个坐标平面内的投影区域面积,他们的符号由错误! 未找到引用源。的方向来确定。若错误!未找到引用源。在xy平面的投影区域的面积错 误!未找到引用源。为正。反之若错误!未找到引用源。一点(错误!未找到引用源。)若 错误!未找到引用源。