文档介绍：度量空间的列紧性与紧性
度量空间的紧性 Compactness
在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些 性质的成立基于一个重要的事实：R的紧性， 实在度量空间中却未必成,即可得 M — f(xn) M M -.
nnn
再由A为紧集知存在{%} {咒),使得O x* A(k )，于是 令k ，有f(x*) M ,因此M是f在A上取得的最大值.□
刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间
中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价.
设X是度量空间，A,B X ,给定 0 .如果对于A中任何点x ,必存在B中 点x',使得d(x,x'),则称B是A的一个 UO(x,)
x B
B是A的一个 网示意图
例如：；平面上坐标为整数的点集是 R2的 网.
设X是度量空间，A X,如果对于任给的0, A总存在有限的 网，则称A
是X中的全有界集.
注5：根据定义可知A是X中的全有界集等价于0 , {x1,x2,L ,xn} X ,使得
n
A UO(x，)，其中O(x,)表示以x中心，以 为半径的开邻域. i 1
, {x,x2,L ,》} A,使得
n
A U0(X, ) -
i 1
n
证明当A是全有界集时，0, {X1,X2,L ,Xn} X,使得A UO（x,-） .不妨设
:2
1 i n 有 O（x»2）I A ，选取 y O（Xq）I A,显然{%',1 ,{} 丫以及
O（\,-） O（yi,）,因此
nn
a u°（x=）U°（y，）• □ i 12 i 1
注6：在Rn中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这 样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集 的关系.
设X是度量空间，A X,若A是全有界集，则（1）A是有界集；（2）A是可分集.
证明⑴设A是全有界集，取1,由定义知，n N及{X1，X2，L，Xn} X，使得
n
A U°（X，1）・ i 1
现令M 1 max{d（X1，Xi）},则易知A 0（X1, M）,可见A是有界集.
（2）设A是全有界集，下证A有可列的稠密子集.
：（n 1,2，L ）,存在Bn {X⑻，X2n），L，*黑} A,使得
卜面证明UBn是A的稠密子集
n 1
X A'0,存在n N，使得/，由于Bn。是A£网，故。BnoUBn，
使d（X，Xn0）—,从而，Xn。0（X，），即UBn在A中稠密，显然UBn是可列集，故
n。i 1i 1
A可分.□
注7:由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集.
例如全体实数对应的离散度量空间（R，d。）中的子集N ={1,2,3,L }是有界集，却
不是全有界集.