文档介绍：超市服务方案的随机模型
数学系 01 数本 2001141120 刘晨凡指导老师：周天明
摘要：为了提高超市服务效率，我们根据超市顾客到达及服务问题的基本规律，建立了
超市服务系统的随机模型，并由此得出最佳服务方案，并对所建立的模 T t|T 1 P T t|T 1 P T t
P T' t 1 e t t o t
没有顾客离去的概率为1 t o t
②多于一个顾客到达或离去的概率为
：
综上，在t
Pn t t Pn t R 1 t 1 t Pn t 1 t
P1t t Pn t t o t
P11t Pm t Pn t
是由于假设t时间内已有n个顾客，那么Pn t 1
t时刻，系统中有n个顾客的概率Pn t
t P1tt t
t Pn 1 t t 1 t
t P11t
t P11t t o t
客，t内没一人来到也没一人离开的概率；
Pn t
t满足
t 1 t就能解释为t时间内有n个顾
t即为t一人到来一人离开的概
率；Ri t 1 t t为t时间内已有n 1个顾客，t内没人到来，有一人离开的概率;
Pni t t 1 t为t时间内已有n 1个顾客，t内有一人到达而没人离开
由此可以得到超市服务的随机模型：
d Pn⑴
dt
d Po⑴
dt
Pn 1⑴ Pn 1⑴(
Pg Pg
)Pn。)
n 1,2,
2、关于服务方案问题
当顾客平均到达率上升引起服务强度/增加致使平均队长L太大，甚至由于 >1
使队长趋向无限时，在平均服务率不变的情况下就只能增加服务员。下面讨论有2个服务员且他们的平均服务率相等的情况。
2个服务员的排队服务有两种形式分别如下两图所示：
由相关的文献资料网之比为
我们可以知道，2个服务员的两种服务形式平均队长 L,等待时间W
2L1
L2
幽1 2
W2
注意到02 1,就人们最关心的等待时间而言有1 W 2,而当2/2 2较大时图1的
W2
形式可以比图2的形式节省较多的等待时间，由此可见，对于设置多个服务员的随机过程，如果仅从等待时间角度考虑应该让顾客只排一个队。
3、系统仿真
随机数字的产生
对随机现象进行摸拟，就是对随机变量取值的模拟，也就是利用计算机产生一系列服从一定概率分布的数值。我们根据同余法递推方法[1],取％ 3,6,M 103,得到了本方案
中所需的服从（0, 1）上均匀分布的随机数。
x0 3 6 18x1 18 ,r1 18/1000 ;
Xi618108 ,X2108,「2108/;
x2 6 108 648 ,x3 648 ,r3 648/1000 ;
x36648 3888,x4888,r4888/;
X46888 5328,%328,「5328/;
其余类推。
随机变量的摸拟
对于给定分布的连续型随机变量，可以利用在区间（0, 1）上均匀分布的随机数来摸拟，最常用的方法是反函数法。
由概率论的理论可以证明。若随机变量 Y有连续的分布函数F（y）,而X是区间（0, 1）
上均匀分布的随机变量。令Z F 1（X）,则Z与Y有相同的分布，由此若已知Y的密度函
Y
数f y ,由Y F 1（X）可得X F y f y dy是区间（0, 1）上均匀分布的随机变
量，如果给定区间（0, 1）上均匀分布的随机数n,则具有给定分布的随机数 yi可由方程 yir 4 r
rif（y）dy中解出。
yi、，
当我们需要摸拟服从参数为的指数分布时，由ri0 be xdx 1 e yi ,可得
yi（1/ ）ln（1 n）。因为（1 n）和「同为（0, 1）区间上的均匀分布的随机数，故上式可
简化为 yi （ln ri）/。
服务方案的评价
我们就上述2个服务员的排队系统进行摸拟仿真。在此之前，首先需要确定评定方案的标准。在这里我们将顾客在出口处逗留时间的长短作为标准，先设两个单服务员系统中
服务员的服务效率相同均为，那么双服务员中服务效率为2 o并假设每个顾客的服务
时间在单服员系统中服从 5,12上的均匀分布，那么在双服务员系统中由于服务效率提高
了，假设在双服务系统中每个顾客的服务时间服从3,8上的均匀分布
：
.双服务员系统：（参见附表1）
双服务员系统中顾客的平均逗留时间为（等待时间+服务时间）/总人数
于是平均逗留时间为：（150+20） /30=
.单服务系统1:（参见附表2）
单服务系统2：（参见附表3）
同样由将上述两个表