文档介绍：数学分析知识点总结
第一章实数集与函数
§1实数
授课章节：第一章实数集与函数——§1 实数
教学目的：使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：
理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
牢记并熟练运实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.
教学难点：确界的定义及其应用.
教学方法：讲授为主.
教学程序：先通过练****形式复****上节课的内容，以检验学****效果，此后导入新课.
引言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§，我们先来检验一下
自学的效果如何！
1、证明：对任何有：(1)；(2).
（）
（）
2、证明：.
3、设，证明：若对任何正数有，则 .
数学分析知识点总结4、设，证明：存在有理数满足 .
[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学****题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，
而非凭空想象；③课后未布置作业的****题要尽可能多做，以加深理解，，尽快掌握本门课程的术语和工具.
本节主要内容：
1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域；
2、讨论有界集与无界集；
3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.
一、区间与邻域
1、区间（用来表示变量的变化范围）
设且.，其中
开区间:
x
R|a
x
b
(a,b)
闭区间:
x
R|a
x
b
[a,b]
有限区间
闭开区间:
x
R|a
x
b
[a,b)
半开半闭区间
x
R|a
x
b
(a,b]
开闭区间:
数学分析知识点总结
x R|x a[a,).x R|x a(,a].无限区间x R|x a(a,).x R|x a(,a).x R|、邻域
联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
（1）的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点的邻域，记作，或简记为，即
.
其中
（2）点的空心邻域
.（3）的右邻域和点的空心右邻域U(a; ) [a,a) U(a)xa x a;U0(a; ) (a,a) U0(a)xa x a.
（4）点的左邻域和点的空心左邻域
数学分析知识点总结U (a; ) (a,a] U(a)xax a;U0(a; ) (a,a) U0(a)xax a.
（5）邻域，邻域，邻域
（其中M为充分大的正数）；
U( )xx M ,U( )xxM
二、有界集与无界集
1、定义1（上、下界）：，使得一切都有，则称S为有上（下）（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.
闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，
集合也是有界数集.
若数集S不是有界集，则称S为无界集.
等都是无界数集,
集合也是无界数集.
注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例：
例1讨论数集的有界性.
数学分析知识点总结解：任取，显然有，所以有下界1；
,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.
综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.
例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.
[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：
不唯一，有无穷多个).
三、确界与确界原理
1、定义
定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数满足：(1)对一切有（即是S的上界）;(2)对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作
从定义中可以得出：
1）；
2）.
证明：必要性，）不成立，则，与是上界中最小的一个矛盾.
数学分析知识点总结
充分性（用反证法），设不是的上确界，即是上界，，由2），，使得，（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S的下界）；（2）对任何，存在，使得（即是S的下
界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作.
从