文档介绍：关于稳定性和代数稳定判据
第一张，共三十五张，创建于2022年，星期日
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一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和，而该行的其余各列元素不为零或不全为零。
处理办法：用一个小正数来代替该行第一列元素零，据此算出其余各项元素，完成劳斯阵列的排列。如果与其上项或下项元素的符号相反，则记作一次符号变化。如果劳斯阵列第一列元素的符号有变化，其变化的次数就等于该系统在S右半平面上特征根的数目，表明该系统不稳定。
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例：系统特征方程为，试判别系统的稳定性。
解：列劳斯表，即
结论：系统不稳定，且第一列元素有两次变号，因此系统有两个正实部的根。
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例：系统特征方程为，试判别系统的稳定性。
解：列劳斯表，即
结论：系统不稳定，且第一列元素有两次变号，因此系统有两个正实部的根。
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（2）劳斯阵列某一行的所有元素全部为零
这种情况表明系统的特征方程存在着大小相等而径向位置相反的根，至少存在下述几种特征根之一，比如大小相等、符号相反的一对实数，或共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。这说明系统是临界稳定或不稳定的。
处理办法：利用该全零行的上一行元素构成一个辅助方程，并将该辅助方程对复变量s求导，用求导以后方程的系数取代全零行元素，继续劳斯阵列的排列。辅助方程的次数通常为偶数，它的根即为那些大小相等而径向位置相反的根。
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例：系统特征方程为，试判别系统的稳定性。
解：列劳斯表，即
显然，系统不稳定。用一行的系数构成辅助方程：
对s求导后得到新方程：
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其系数（即4和6）代替第三行全为零的元素，然后继续进行计算
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可见，系统虽不稳定，但第一列数字元素并不变号，所以系统没有在右半S平面的根。实际上系统有位于虚轴上的纯虚根，可由辅助方程求得。
系统的辅助方程为
则有
故系统的纯虚根为
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例：系统特征方程为
解：列劳斯表，即
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
用行的系数构成辅助方程：
上式对s求导，得
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第一列元素没有符号变化，表明该系统在S右半平面没有特征根，但是具有共轭虚根。
解辅助方程可得共轭虚根为：
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例：已知系统的特征为
解：特征方程中s的各次幂的系数不全为正，则不满足系统稳定的必要条件，所以系统不稳定。列劳斯表计算S右半平面的特征根数：
试应用劳斯判据分析系统的稳定性；如不稳定，求出系统在S右半平面的特征根数。
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劳斯表第一列元素变号一次，说明系统有一个正根。
利用此行构造辅助方程
求导得
改第一列元素0为任意小的正数，继续计算劳斯表。
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解辅助方程，得
利用辅助方程和多项式除法，特征方程变为
所以特征方程得另一个根为
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三、稳定性判据的应用
1、参数变化对稳定性的影响
利用代数稳定判据可以确定个别参数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数取值范围。
例：设控制系统的结构图如下，试确定满足稳定要求时的临界值和开环放大倍数临界值。
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解：系统的闭环传递函数为
其特征方程为
为使系统稳定，应有
（1）特征方程各系数均大于零，即要求。
（2）满足关系式，即