文档介绍：信号与系统郑君里版第二章
LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
微分方程的经典解：
y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）
齐次解是齐次微分方程
yh(t)的函数形式由上解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得 ，确定积分常数C1，C2， …，Cn
几种典型自由项函数相应的特解
[]：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t),已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。
解：（1）y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t)
利用系数匹配法分析列式得： y’’(t)=aδ(t) +b，
y’(t)=a ，
y(t)=0
代入原方程得a=2，b=0
根据微分方程经典求法：
齐次解：
齐次解形式为：
特解,根据特解形式得到:
解得 B＝3
解得全响应为：
利用初始值解得：
全响应为：
瞬态分量
稳态分量
（2）零输入响应yx(t), 激励为0 ，
yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2
yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0
根据特征根求得通解为：
解得系数为
代入得
（3）零状态响应yf(t)
满足 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t)
利用系数匹配法解得：
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
其齐次解为
其特解为常数 3 ，
于是有
根据初始值求得:
自由响应＋强迫响应
(Natural+forced)
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
暂态响应+稳态响应
(Transient+Steady-state)
四．系统响应划分
相互关系
零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成 。
自由响应
强迫响应
零输入响应
零状态响应
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
冲激响应和阶跃响应
[] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
解：根据h(t)的定义有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)
h’(0-) = h(0-) = 0，
利用冲激函数匹配法，设： h”(t) =a δ(t)+b
h’(t) =a
h(t) =0
解得：a=1, b=-5
h(0+)=h(0-)=0
h’(0+) =1 + h’(0-) = 1
微分方程的特征根为
故系统的冲激响应为
代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以
对t>0时，h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0，故系统的冲激响应为齐次解。
[] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)，求其冲激响应h(t)。
解：根据h(t)的定义有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h’(0-)，根据冲激函数匹配法得：
h”(t) = aδ”(t) +b δ’(t) +cδ(t)+ d
h’(t) = aδ’(t) +bδ(t) + c
h(t) = aδ(t) + b
带入方程求得： a =1 ，b = - 3，c = 12，d=-42
故 h(0+) =