文档介绍：图形的计数练习
一、填空题
1．下图中一共有（）条线段。
2 如下图 ,O 为三角形 A1A6A12 的边 A1A12 上的一点 ,分别连结 OA
形的长和宽的可能种数。 按照前面所介绍的线段的计数方法可分
别求出长和宽的线段条数 ,将它们相乘就是所有长方形的个数。
因为 AB 边上有 876 21= 9 8 =36 条线段， AD 边上有 21=3
2
条线段，所以图中一共有 36 3=108 个长方形。
2 三角形一共有 6 行,每行都有 321=6 个,所以一共有 6 6=36 个三角形。
由例 5 注可知整个图形中共有 12223242=30 个正方形。
此类问题一般用分类方法计数对正方形的边长分八类计数
如下 :
边长为 AB 的正方形有 16 个；
边长为 AC 的正方形有 9 个；
边长为 AD 的正方形有 4 个；
边长为 AE 的正方形有 1 个；
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边长为 DF 的正方形有 9 个；
边长为 CF 的正方形有 8 个；
边长为 BF 的正方形有 2 个；
边长为 CG 的正方形有 1 个。
所以 ,最多可围出 50 个正方形。
因为正方形是特殊的长方形 ,所以可以把正方形看成长方形 , 这样就不必分别求正方形和长方形的个数 ,仍用分类计数的方法求解。
先考虑有一组对边平行于 BC 的长方形有多少个。这一类按
其水平边的位置可分为 6 小类 ,即位置在 BF、FE、EC、FC、BE、
BC 同样 ,其竖直边也分为 6 类。所以这一类有 6 6=36 个长方形。
A D
B F E C
另一类是没有边平行于 BC 的这一类又分类两小类 ,分解图
如下页图所示 ,其中分别有 6 个和 2 个长方形。
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所以，一共可套出正方形和长方形 3662=44 个。
9． 21
以正方形的面积大小分类计数。
设相邻两点的距离为 1，则正方形面积为 1 的有 9 个；
面积为 2的有 4个；
面积为 5的有 2个；
面积为 8的有 4个；
面积为 13 的有 2 个；
所以，共有 94242=21 个正方形。
10．30
将原立体图形从左至右分类计算，共有 11757=30 个。
11 白色小三角形个数 =123 6= (1 6) 6 =21，
2
黑色小三角形个数 =123 7= (1 7)
7 =28，
2
所以它们的比 = 21
= 3
。
28
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12 解法一
本图中三角形的个数为 1234 4=40 个下面求梯形的个
数。 ,CD,EF,MN 中 ,考虑两底所在的线段 ,共有 4 3 2=6 种选法；
对上述四条线段中确定的两条线段， 共有 10（ 10=4321）个梯形。
共 60 个梯形。故所求差为 20。
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解法二
在图中可数出 4 个三角形 ,6 个梯形 ,梯形比三角图形图形多 2
个。而在题图中 ,这种恰有 10 个。故题图中 ,梯形个数与三角形的
个数之差为 2 10=20 个。
13 边长 2 厘米的正方形 :
2=4 个 红色边长 4 厘米的正方形
4-1 4=12 个 红色
4-2 4-2=4 个 白色
边长 8 厘米的正方形
8-1 4=28 个 红色
8-2 8-2=36 个 白色
边长 9 厘米的正方形
9-1 4=32 个 红色
9-2 9-2=49 个 白色
所以 ,红色小正方形共有
4122832=76个
白色小正方形共有
43649=89个
[注]本题的要求是由边长为 1 厘米的红色和白