文档介绍：§2方差、协方差与相关系数
例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为：
[89 ] [ 6 7 8 9 *
占 101 01J 丑 101 01)
：： ： .
问哪一(g — c > 1/n)= 1 n s .
性质2设c,b都是常数，则
Var(比 + b)= c2 Var 自.
证 Var(比 + b)=E(比 + b-E(比 + b))2 = E(比 + b-cE己-b)2
/2 E&- Eg)2 -c2Va建 .
性质3若c0段，则VarE怎—c>.
证因 Var 己=E g 2-( E之)2,而 E《-c )2= E g 2-2 cE 己 + c 2,
两边相减得Var己—E4—c、= —(琰—c> < 0 .这说明随机变量之 度最小.
Var(£5)£ Varg Z E(g - Eg )(g - E5)
性质 4 i=1 ' —=1 i +21</<j<n 1 1 J J
特别若g1， ，gn两两独立，则
Var(£ g ) £ Varg i=1 = i=1 .
£g ) £g £g ) (£ (g - Eg ))2
、一 ， i i 〜 i )2 - i i
证 Var( i=1 =E( i=1 -E( i=1 = =E i=1
(£ (g - Eg )2 + 2 £(g - Eg )(g - Eg ))
i i i i j j
=E i=1 1< i < j < n
£ Var g £ E(g - Eg )(g - Eg )
i i i j j
=i=1 +2 1< i < j < n ,
得证(6), , gn两两独立时，对任何1 < j < n有Egig j
故 …
"(g -Eg )(g -Eg ) /g -g Eg -g Eg + Eg Eg )
口 i i j j =E( i j i j j i i j
g g - Eg Eg
=E i j i j =0,
这就得证⑺式成立.
利用这些性质，可简化某些随机变量方差的计算.
例5设;服从二项分布B(n, p),求Varg .
(5)
对数学期望Eg的离散
(6)
=EgE g
解 如§1例12构造g i, i = 1，，n ,它们相互独立同分布，此时
V ^ = EG 2 —（E己）2 = 12 .p + 02 .q 一 p2 二 ar I I I pq.
由于相互独立必是两两独立的，由性质4
i = npq
=Var(£G ) = £varG
i =1 i =1
例6 设随机变量G1,工n相互独立同分布,
「1 £ 7 - -
(i=1, ,n).记 G=n i=1 i,求 EG ,VarG.
解 由§1性质2和本节性质2和4有
_ =1 £ e G
EG n i = a
i =1
「1二工£ VarG二工做2二
VarG n 2 i n 2
i=1
这说明在独立同分布时，匕作为各己i的算术平均，它的数学期望与各1i的数学期望相同， 但方差只有乙，的1/ .
例7设随机变量己的期望与方差都存在,Var^ > 0 .令
=G- EG JVar&
*与VarG *.
解 由均值与方差的性质可知
EG * = E（j一 E）= 0
v'Varq
Var『=
Var(己一度)Var己 ： = -=1
Var己
Var匕
协1方差
（G1,工n）l除去各分量的期 望和方差外，还有表示各分量间相互关系的数字特征一协方差.…
定义2记己i和5 j的联合分布函数为FJx y）
E［《「庆i)& J 庆j)|<+8
，就称
E也-庆）化 —成）」+4+9-%）（y-庆.）d尸（羽y） 0
i i j j -oo -oo 1 ， U （X）
为\工j的协方差（covariance）,记作Cov（.\）.
显然，Covq$）= Var,.公式⑹可改写为
工丫“己 Z G?v（W工）
Var（ i=1 1） = i=1 1 +2 i<z< j<n . （）
容易验证，协方差有如下性质：
性质1*（财）=前（仙）=四1 一族团.
性质2设〃力是常数，则
Cov（ ,加）=qACov（自,r|）
Cov(2pr|) = 2cov6 ,r|)
性质3
i i
i=l i=l
对于〃维随机向量？二忑〃）’，可写出它的协方差阵
• • •
(b b ... b
11 12 In
b b