文档介绍：Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
拉普拉斯方程水平集方法等
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种。为a 的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P 的通过球面的“反射镜像”P' 距球心
需要注意的是，如果P 在球内，那么P' 将在球外。于是可得格林函数为
式中R 表示距源点P 的距离，R' 表示距镜像点P' 的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P 的三个分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z 轴）的夹角（与欧洲****惯相同，与美国****惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为：
式中
这个公式的一个显见的结论是：若u 是调和函数，那么u 在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。
水平集
在领域中, 一个具有n变量的值f的水平集是具有以下形式的集合
{ (x1,...,xn) | f(x1,...,xn) = c }
其中 c 是常数. 即, 使得函数值具有给定常数的变量集合.
当具有两个变量时, 称为水平曲线(), 如果有三个变量, 称为水平曲面, 更多变量时, 水平集被叫做水平.
集合
{ (x1,...,xn) | f(x1,...,xn) ≤ c }
被称为 f 的 子水平集 .
其他名字
水平集具有很多重要的应用, 在不同的应用领域通常具有不同的名称.
例如, 水平曲线也被叫做隐式曲线(implicit curve)用来强调曲线是由(implicit function)定义的. 有时也使用等高线(isocontour)的名称, 表示一个具有相同高度(函数值)的轮廓. 在不同的应用领域, (isobar), (isotherm),(isogon), (isochrone)都属于等值高线.
相应的, 水平曲面有时被叫做隐式曲面(implicit surface)或(isosurface).
最后, 更加一般的水平集被叫做(fiber).
例子
例如, 指定一个半径 r, 圆的方程可以定义为一个等高线.
r2=x2 + y2
如果取 r=5, 那么等高值为 c=52=25.
所有使得 x2 + y2=25 的点 (x,y) 构成了它的等高线. 这就是说他们属于等高线的水平集. 如果 x2 + y2 小于 25 这个点 (x,y) 就在等高线的内部. 如果大于 25 , 这个点就在等高线外部.
水平集与梯度
考虑一个山形函数. 蓝色曲线是它的水平集. 红色曲线沿着梯度的方向. 换句话说, 保守的旅行者走的是蓝色路径, 大胆的旅行者走的是红色路径.
. 函数f在一点处的与在该点处 f 的水平集垂直.
这个定理是十分不寻常的. 为更好的理解定理的含义, , 决定从坡度最大的地方走. 另一个人比较保守; 他不想向上爬, 也不想走下去, 选择了一条在同一高度的路. 上面的定理就是说, 这两个旅行者相互离开的方向是互相垂直的.
. 设所考虑的点为 x0 . 通过点 x0 的水平集是 {x | f(x) = f(x0)}. 考虑一条通过点x0并且属于水平集的曲线 γ(t) , 不妨假设 γ(0) = x0. 从而得到
使用, 在 t = 0 处微分. 我们发现
同时, f 在 x0 处的 等于 f 在点 x0 的梯度.
因此, f 在点 x0 处的梯度与曲线在该点处的切线 γ′(0) 垂直. 由于曲线 γ(t) 是任意的, 因而断定梯度与水平集垂直.
这一定理的直接推论是, 如果水平集穿过其自身 (不是一个光滑或) 那么梯度向量在所有交叉点处一定是零. 那么, 每个交叉点都是f的.
水平集方法
水平集方法 (Level Set Method) 是一种用于界面追踪和的技术. 水平集方法的优点是可以在(Cartesian grid)上对演化中的进行数值计算而不必对曲线曲面(这是所谓的欧拉法(Eulerian approach)).). 水平集方法的另一个优点是可以方便的追踪物体的结构改变. 例如当物体的形状一分为二, 产生空洞, 或者相反的这些操作. 所有这些使得水平集方法成为随时间变化的物体建模的有力工具, 例如膨胀中的气囊， 掉落到水中的油滴.
理解水平集方法的最简单有效地方式是先学****相应的例子, 然后学****技术性很强的定义. 右侧的图片示例了水平集的几个重要思想. 在左上角有一个形状-