初中数学最值系列问题之瓜豆原理.pdf

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Q
P
A O
【分析】考虑 AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO；
考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1．
即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为 2．
M
Q
P
A O
【模型总结】
为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．
Q Q
M
P
α α P
A O A α O
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”
3【思考 1】：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以 AP 为一边作等边△APQ．
考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？
Q
A P O
【分析】
Q 点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故 Q 点轨迹是个圆：
考虑∠PAQ=60°，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足∠MAO=60°；
考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO．
即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
Q
M
P
60°
A O
【小结】可以理解 AQ 由 AP 旋转得来，故圆 M 亦由圆 O 旋转得来，旋转角度与缩放比例
均等于 AP 与 AQ 的位置和数量关系．
【思考 2】如图，P 是圆 O 上一个动点，A