文档介绍：-
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数学小论文和研究性解题讲座
序
物质世界事物万千，表现各异，互相依存互相联系，而数学工作者总是以最紧凑节约的方式来表述事物的内部规律，并且总结出许多方法，对 时，的一般结果；
证明你的结果。
证明： 假设，则≥；
推断上述命题的一般形式并加以证明。
求的互相垂直的切线的交点的轨迹；考虑一般二次曲线
的情形。
实验材料： 则 ≥ ；
则 ≥ 。
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实验目的： 探求当时，的一
般结果。
实验要求：证明你的结果。
第二讲 解题的一般步骤
归类：把要解决的问题与已解决的问题从而由此而建立的模型〔如选择、计算、证明、作图、轨迹等〕进展对照，寻求一种大致的解题途径，确定初步的问题解决方案。
罗列问题中的知识点，并将其转化为适当的数学表达式。
联想：由题中的知识点出发，逐步搜索相关的定义、性质、公式、定理、已经解决的问题等。
分析：串联联想到的各种信息，探索一条正确的解题思路。
表达：整理成文。
总结：归纳问题的特征、解答的一般思想方法和技巧等。
研究：举一反三、触类旁通，解题方法的一般指导意义等。
下面我们以两例高考题来说明一至五的使用情形。
〔1999，高考，第23题〕
函数的图象是自原点出发的一条折线段，当≤≤
时，该图象是斜率为的线段〔其中正常数〕，设数列由定义，
〔Ⅰ〕 求和的表达式；
〔Ⅱ〕 求的表达式，并写出其定义域；
〔Ⅲ〕 证明的图象与的图象没有横坐标大1的交点。
归类 计算题 〔1〕求数列的通项公式；〔2〕求函数的表达式及定义域。
知识点 函数、函数的图象、折线段、斜率、数列。
联想 〔1〕作出折线段的图象；
〔2〕斜率的计算公式
等差数列：通项 ，
局部和
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等比数列：通项 ，
局部和 ，
当<1时， 。
一些曾经求过的数列的类型。
分析 从图象上看，有
， 即
， 即
， 即
， 即
由此可见 是等比数列，且 ，其局部和为
即 。
在 ≤≤时，根据点斜式写出直线段方程为
由图象可看出其定义域应根据的情况而定，当0<<时，由， 即函数的定义域为；当>时，
，即函数的定义域为。
从图象上可看出〔Ⅲ〕的结论比较明显，可采取一般方法〔如数学归纳法〕证明之。
整理成文，给出答案。〔略〕
〔1999，高考，第24题〕
如图给出定点>和直线，是直线上的动点，的角平分线交
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于，求点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线的类型与值的关系。
归类：求动点的轨迹；
常用方法：建立坐标系，设动点的坐标；
按题意建立等式；
将动点坐标代入，化简，整理；
讨论〔定义域等〕。
二、 知识点：角平分线。
三、 联想：〔1〕角平分线的定义；
B
D
C
A
〔2〕角平分线的性质：〔a〕角平分线到角的两边的距离相等；
〔b〕
〔c〕由角的两边求
角平分线的方程。
四、分析：设 的坐标为，的坐标为,因为三点共线，从而建立方程如下： 〔1〕
直线的方程为：
直线的方程为：
将其法式化得：
直线的方程为：
而直线的方程为：
从而所求的轨迹方程为：
〔4〕 利用定比分点公式 ，可得
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从每一个方程组中消去参数，都可得到所要求的方程。
总结：对于求由一个满足条件的动点所确定的动点的轨迹方程，一般采用参数法，建立方程组： 从前二式解出，再代入即得轨迹方程。
例如求曲线关于直线对称的曲线过程如下：
在上任取一点，设其对称点为，按题意列出方程组
从前二式解出