文档介绍：2023年河北省衡水中学一模(理科数学)
绝密★启用前试卷类型：A
衡水中学2023—2023学年度第二学期第一次模拟考试
高三年级数学(理科)试卷
本试卷分第从盒中抽取卡片两张，假设抽到两张都是“海宝〞卡即可获奖，否那么，，下一位参加者继续重复进行.
〔1〕活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝〞卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
〔2〕现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及期望.
[来源:学科网ZXXK]
，底面为菱形，且为延长线上的一点，面.
(Ⅰ)求二面角的大小；
(Ⅱ)在上是否存在一点，使面?假设存在，求的值;不存在，说明理由.
　
20. 设对于任意的实数，函数，满足，且,，，
〔Ⅰ〕求数列和的通项公式；
〔Ⅱ〕设，求数列的前项和;
〔Ⅲ〕设，存在整数和,使得对任意正整数不等式恒成立,求的最小值.
A
O
M
N
K
P
Q
yA
x
F
，椭圆的右焦点为F，过F的直线〔非x轴〕交椭圆于M、N两点，右准线交x轴于点K，左顶点为A.
〔Ⅰ〕求证：KF平分∠MKN；
〔Ⅱ〕直线AM、AN分别交准线于点P、Q，设直线
MN的倾斜角为，试用表示线段PQ的长度|PQ |，
并求|PQ |的最小值.
.
(Ⅰ)假设，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
(Ⅱ)当时，证明函数只有一个零点；
(Ⅲ)的图象与轴交于两点,中点为，求证：.
第一次模拟考试数学(理科)答案
A卷：1—12 DCABC ACBBD DA
13. 14. 15. 16. 1
〔1〕
cos<>=cos==cos -------4分
〔2〕
---------------------6分[来源:]

-------------------------10分
　：〔1〕设“世博会会徽〞卡有张，由--------------2分[来源:学科网]
故“海宝〞卡有6张，抽奖者获奖的概率为----------4分
〔2〕可能取的值为0，1，2，3，4，那么-------------------------------------5分
〔每个1分10分〕
所以的分布列为
0
1
2
3
4
P
[来源:学#科#网]
-----------------12分
19. 解：(Ⅰ)设与交于，如下图建立空间直角坐标系
，设，
那么设
那么
平面
即 ……………………2分
设平面的法向量为
那么由得令
平面的一个法向量为
又平面的法向量为
二面角大小为………………………………………………………………6分
(Ⅱ)设得
…………10分
面
存在点使面此时……………………………………12分
20. 解：〔Ⅰ〕取，得，取，
故数列是首项是1，公比为的等比数列，所以
取，，得，即，故数列是公差为的等差数列，又，所以----------4分
〔Ⅱ〕
，两式相减得
所以---------------8分
〔Ⅲ〕，
所以是增函数，那么
由于，那么，由于，那么，所以
因此当且时，恒成立，所以存在正数，使得对任意的正整数，， --------12分
：〔1〕法一：作MM1⊥于M1，NN1⊥于N1，那么，
又由椭圆的第二定义有∴∴∠KMM1=∠KNN1，即∠MKF=∠NKF，∴KF平分∠MKN………………………………5分[来源:]
法二：设直线MN的方程为.
设M、N的坐标分别为, 由
∴设KM和KN的斜率分别为，显然只需证即可.∵ ∴
而
即得证.……5分
〔2〕由A，M，P三点共线可求出P点的坐标为
由A，N，Q三点共线可求出Q点坐标为，……………………6分

∴…………………………………………8分
那么：
……………………………………10分
又直线MN的倾斜角为，那么，∴
∴时，…………………………………………………