文档介绍：弹塑性力学
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点:
应力－应变之间具有一一对应的关系，
且在许多情况下可以近似地按线性关系处理。
塑性变形的特点：
应力－应变关系不再一一对应，
且一1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通常用箭头表示。
对空间任一点Ｐ，坐标是（v1， v２， v３），可以表示为矢量ＯＰ或Ｖ。
由单位矢量叠加有：
或简洁写为：
标量积
矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积）和矢量积（叉积）。
矢量U和V的标量积定义为：
|U|表示矢量U的绝对长度， 为矢量U和V的夹角。
标量积的计算式为：
两个垂直矢量的点积为零。
一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。
应用：力F作用在一运动速度为V的物体上，功率由点积（ ）求出。
矢量积
两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长度等于 。标记为：
W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。
三重积
三重标量积：
称为三重标量积或框积，是以U、V、W为边的平行六面体的体积或体积的负值。可用[U，V，W]来表示。
标量场和矢量场
函数 称为一个标量场，梯度
构成矢量场， 垂直于 =常数的表面。
矢量的散度：
矢量的旋度：
张量
指标记法和求和约定
符号（Kronecker符号）
符号（交错张量）
坐标变换
笛卡尔张量
张量性质
指标记法和求和约定
矢量V用指标记法为 ，指标可以自由挑选。
规则1：如果在一个表达式或方程的一项中，一种下标只出现一次，称之为“自由指标”。
规则2：如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑标”，它表示从1到3进行求和。
规则3：在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。
在下标中，用一个逗号表示微分，如：
符号（Kronecker符号）
克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即
由求和约定可得到
由于
所以，将 应用于 只是将j用i置换，因此 符号通常称为置换算子。
符号（交错张量）
符号有33或27个元素，取值为1，-1，0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如果交换次数为偶数，则元素为1，为奇数，则为-1，如果下标出现重复，则值为0。可从图解判断：
叉积
证明：对分量1，对于表达式 由于下标1，j，k必须互不相同，所以可能的组合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2，因而
同理可对其它分量计算，合并得证。
三重标量积可写为
对交错张量和克罗内尔符号，有下列关系式：
可用指标方法证明：
坐标变换
假设 和 是共原点的两个笛卡尔右手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中的分量分别为 和 ，则有
称为方向余弦，即 与 轴夹角的余弦。
方向余弦表
注意 的元素不对称。
由 的定义有：
所以
或
该式隐含6个等式：
两坐标系中的点的坐标变换为
和
i为新坐标轴，j为旧坐标轴。
笛卡尔张量
张量的名称起源于它与应力（张力）有关的历史。
新坐标系中每一个新矢量的分量是原来分量的一个线性组合，这种变换很规则方便且有很多用途。
根据线性变换的思想来定义张量。
标量不受坐标变换的影响，定义为零阶张量，分量数=30=1。
满足 ，这些矢量称为一阶张量，分量数=31=3。
满足 ，称为二阶张量，分量数= 32=9。
满足 ，称为三阶张量，分量数=33=27。
如此可以推广到更高阶张量。
虽然所有的矢量都是张量，但并不是所有的矩阵都必定是张量，如工程应变分量不构成一个张量。
张量性质
相等
当两个张量对应的分量相等时，则定义它们相等。
相加
两个同阶张量的和（或差）仍是一个同阶张量，其分量为两个张量对应分量的和（