初中数学竞赛：求最大值、最小值.docx

文档介绍：初中数学竞赛：
求最大值、
最小值
【内容提要】
=ax2+bx+c(aW0),的最大、最小值常用两种方法:
b 4ac一b2
①配方法：原函数可化为y=a(x+ —)2+—--.
2a 4，矩形面积的最大值是一.
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：直线m 〃n, A, B, C都是定点，AB=a, AC=b,点P在AC上，BP的延长线
交直线m于D.
问：点p在什么位置时，s«ab+s«cd最小?
解：设NBAC=a, PA=x,则 PC=b—x.
•••m〃n,・，. CD =吧. AB PA
a (b - x)
ACD=-
x
1 1 a (b - x)
(b—x) Sin a
s“ab+s”cd= 2axSin a + 2 -x
1 b 2 - 2 bx + x 2、
=—aSin a (x + )
2x
1
=2 aSin a (2x+
b2
--2 b).
x
b2
V2x X 一 =2b2 (定值)，
x
b2
根据定理二，2x + —有最小值.
x
, b 2 1 :
/.当 2x = — , x= —v： 2b 时，
x 2
S«AB+S«CD 的最小值是(<2 — 1)abSin a .
：Rt△ABC中，内切圆O的半径r=1.
求：S△ABC的最小值.
^：7SAABC=2ab ,ab =2Sa.
*/2r=a+b—c, /.c=a+b—2r.
••・a+b—2r=七〃 2 + b 2
B
两边平方，得 a2+b2+4r2+2ab—4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab—4(a+b)r=0.
用 r=1, ab=2S△代入， 得 4+4S^—4(a+b) =0. a+b=Sj1.
Vab=2SA 且 a+b=SA+1.
Aa, b是方程x2—(Sa+1)x+2Sa=0的两个根.
•••a,b是正实数，
A△三 0,
即[—(S△+1)]2—4X2S^ 三0, S/—6S4+1 三0 .
解得 S△三3+2\1D或S^W3—2也. S△<3—2<2不合题意舍去.
AS-c的最小值是3+2 v；2 .
：.如图4ABC中，AB= <6 + 22，/C=30。. 求：a+b的最大值.
解：设 a+b=y ,贝U b=y—a.
根据余弦定理，得
(V 6 + *'2 )2=a2+(y—a)2—2a(y—a)Cos30。
写成关于 a 的二次方程：(2+”3 )a2—(2+v3 )ya+y2—(8+4 \：3 )=0.
・「a是实数，
A△三0.
即(2+ <3 )2y2—4(2+ v'3 )[y2—(8+4 v'3 )]三0, y2—(8+4 v 3 )2 W0 .
A —(8+4 <3 )<y <(8+4 <3 ).
A a+b的最大值是8+4 43.
又解：根据定理三 :AB和NC都有定值.
A当a=b时，a+b的值最大.
由余弦定理，（+''6 v'2）2=a2+b2—2abCos30°
可求出 a=b=4+2 v 3
【练****br/>. x1,x2,x3,x4,x5 +x2+x3+x4+x5=. xF2x3x4x5，那么.