文档介绍：2023A数学建模优秀论文
2023 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了?全国大学生数学建模竞赛章程?和?全国大学生数学建模竞赛参赛规那么?〔以下简称为“竞赛章程和参赛规那么〞，可从全国大学生数嫦娥三号实际体积选取适宜的栅格大小，并对栅格通过最小二乘法对空间进行线性统计回归，求出平均坡面与平均坡度，结合最大平安半径建立最优落点评价体系， 最终获得最优落点坐标为〔88,56〕，燃耗为 。第五阶段最优燃耗为 。最后还讨论了简单运动的局部最优模型，简化了后几个阶段的运动学分析与计算。最终综合各段最
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优解，获得最优着陆轨道与控制策略。
对于第三问，首先总结了优化模型中引入的一些误差因素，并针对主要因素做了数值上的相对误差分析，证明了误差对于优化方案并未产生很大影响。其次从初始变量和约束条件入手，分析了这些变量的波动对于结果产生的影响，最终发现角度控制向量的灵敏性较高， 而其他因素的灵敏性普遍处在较低水平，侧面说明了优化方案的对于初值的不敏感性与方案对于全局最优解的逼近程度较高。
关键词：非线性规划模型 序列化遗传算法 K 均值聚类 空间线性回归 二体模型
一．问题的提出
背景介绍
根据方案，嫦娥三号将在北京时间 12 月 14 号在月球外表实施软着陆。嫦娥三号如何实
现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了 13 次无人月球外表软着陆。
北京时间 12 月 10 日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月〞前最后一次轨道调整。在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在椭圆轨道上继续飞行，做最后准备。
嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落月〞地点的选择仍存在一定难度。在整个“落月〞过程中，“动力下降〞被业内形容为最惊心动魄的环节。在这个阶段，嫦娥三号要完全依靠自主导航控制，完成降低高度、确定着陆点、实施软着陆等一系列关键动作，人工干预的可能性几乎为零。在距月面 100 米处时，嫦娥三号要进行短暂的悬停，扫描月面地形，避开障碍物，寻找着陆点。
问题重述
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 ，其安装在下部的主减速发动机能够产生的推力可调节，变化范围为
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1500N 到 7500N，其比冲为 2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为 ，，海拔为-2641m。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的根本要求：着陆准备轨道为近月点 15km， 远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的根本要求，建立数学模型解决下面的问题：
〔1〕确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
〔2〕确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。
〔3〕对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二．问题的分析
问题一
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由于题目已经明确给出准备轨道的形状参数，可以通过已有的物理知识与几何关系明确计算出近月点与远月点处速度大小和相对于月面的速度方向。为了预期落点与着陆轨道在同一个平面内，且准备轨道过月心，可以大致确定轨道所在平面有无数多个，无法确定近月点和远月点的位置，因此需要其他条件来推测。此题现有的条件下，只有通过着陆轨道逆推近月点，并结合地月轨道制动的实际情况综合考虑，才能得到。对于着陆过程一，由相关报道以及 NASA 在 1976 年提出的线性正切制导率[1]，得知主减速阶段通常都是恒推力作用在轨道切线上，且嫦娥三号主减速阶段实际也是保持着最大推力依照这一定律进行制导。我们由此出发，通过二体模型，结合条件，建立微分方程组，通过计算机模拟降落轨迹即可求出降落弧线距离，从而反推近月点，对称得出远月点。
问题二
由问题一已经得出近月点，即开始降落点位置，也知道每一阶段的状态，因此，降落轨
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道大致范围根本确定，但六个过程的精确路径是要通过策略优化来控制的。由于燃料消耗表现在推力在时间上的积累量，即减小推力作用的冲量，即可优化燃料消耗。
对第一个过程，由于推力很大且历时较长，因此燃料消耗主要表达在这一阶段，对应的， 优化策略也应重点表达，由于有二体模型，建立微分方程模型，并由初值条件以及阶段