文档介绍：2006年考研数学一真题
填空题(1~6小题,每小题4分,共24分。)
limx→0xln(1+x)1-cosx= 。
【答案】2。
【解析】
等价无穷小代换:
当x→0时,ln1+x~x,1-cosx~12x2
所以limx→0xln(1+x)1-cosx=limx→0x212x2=2
综上所述,本题正确答案是2。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较
微分方程y'=y(1-x)x的通解为__________。
【答案】y=Cxe-x(x≠0),C为任意常数。
【解析】
原式等价于dyy=1-xxdx
dyy=1-xxdx lny=lnx-lnex+lnC(两边积分)
即y=Cxe-x(x≠0),C为任意常数
综上所述,本题正确答案是y=Cxe-x(x≠0)。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
设Σ是锥面z=x2+y2(0≤z≤1)的下侧,则Σ xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy= 。
【答案】2π。
【解析】
设Σ1:z=1(x2+y2≤1),取上侧,则
Σ xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=
Σ+Σ1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy-Σ1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy
而Σ+Σ1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=V 6dv
=602πdθ01rdrr1dz=2π
Σ1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=0
所以Σ xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=2π
综上所述,本题正确答案是2π。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d= 。
【答案】2。
【解析】
点到平面的距离公式:
d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2
其中(x0,y0,z0)为点的坐标,Ax+By+Cz+D=0为平面方程
所以
d=|3×2+4×1+5×0+0|32+42+52=2
综上所述,本题正确答案是2。
【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离
设矩阵A=21-12,E为二阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则B=___________。
【答案】2。
【解析】
BA=B+2E BA-E=2E B(A-E)=2E BA-E=22=4
因为A-E=11-11=2,所以B=2。
综上所述,本题正确答案是2。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则PmaxX,Y≤1=___________。
【答案】19。
【解析】
本题考查均匀分布,两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。
事件maxX,Y≤1=X≤1,Y≤1=X≤1∩Y≤1, 又根据X,Y相互独立,均服从均匀分布,可以直接写出
PX≤1=13∙13=19。
综上所述,本题正确答案是19。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布
选择题(7~14小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)
设函数y=f(x)具有二阶导数,且f'x>0,f''x>0,∆x为自变量x在点x0处的增量,∆y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若∆x>0,则
(A)0<dy<∆y (B)0<∆y<dy
(C)∆y<dy<0 (D)dy<∆y<0
【答案】A。
【解析】
【方法一】
由函数y=f(x)单调上升且凹,根据∆y和dy的几何意义,得如下所示的图
由图可得0<dy<∆y
【方法二】
由凹曲线的性质,得fx0+∆x>fx0+f'x0∆x,∆x≠0,于是fx0+∆x-fx0>f'x0∆x>0,∆x>0,即0<dy<∆y
综上所述,本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数的几何意义和物理意义
设f(x,y)为连续函数,则0π4dθ01f(rcosθ,rsinθ)rdr等于
(A)022dxx1-x2f(x,y)dy (B) 022dx01-x2f(x,y)dy
(C)022dyy1-y2f(x,y)dx (D)022dy01-y2f(x,y)dx
【答案】C。
【解析】
如图所示,显然是y型域,则原式=022dyy1-y2f(x,y)dx
综上所述,本题正确答案是C
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
若级数n=1∞an收敛,则级数
(A) n=1∞an收敛(B) n=1∞(-1)nan收