文档介绍：第 四 节 对 面 积 的 曲 面 积 分
学****目标
了解对面积的曲面积分的概念、 性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法， 会用曲面积
分求一些几何量与物理量 .
内容提要
x, y,z在光滑曲面 上有界，将曲面.
【分析】］根据积分曲面 的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元 dS ,将曲面积
分转化为投影区域上的二重积分进行计算.
解设
1为锥面z Vx2 y2,0 z 1 ,在1上,
dxdy = V2dxdy ,
图4-1
， .. 2
2为z 1上x
1部分，在
2上,
dS dxdy ,
1, 2在xOy面的投影区域为D: x
2 _ y )dS
2 2 _ 2
I (x y )dS + (x 2
(2 1) (x2 y2)dxdy
D
3d -(1 52).
例5计算 z2dS,其中
为x2
4介于z 0, z 6之间的部分.
【分析】积分曲面 如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分， 积分曲面 关于xoz
面，yoz面对称，被积函数是偶函数，则有
z2dS = 4 z
故可利用对称性解之.
飞；4 y2淇在yoz面的投影域为
0
Dyz： 0
2 2 _
z dS = 4 z dS=4 z
1 D yz
2 dzdy
4 6z2dz
0
_2— dy 288 .
,4 y2 ¥
图4-2
【注】该题不能将积分曲面
向xoy面作投影，因为投影为曲线，不是区域
基本题型II ：对面积的曲面积分的应用
1 2 2
1)的质量，其面密度
z((x, y, z) S).
例6求物质曲面S:z —(x解S在xoy平面上的投影区域 D : x2
y2)(0
2
是，所求质量为 M 1(x2 y2)dS
1
2d
(x2 y2)\ 1 x2 y2dxdy
例7试求半径为 R的上半球壳的质心, 已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离.
解以球心为原点，铅锤直径为 z轴建立直角坐标系，则球面方程为 x2 y2 z2 R2 ,
且任意点M (x, y,z)处的密度为 6y2 .
设球壳的质心坐标为(x,y,z),由对称性知， x y 0.
z dS
其中为上半球面z Jr2 x2 y2 ,
dS
z 2 z 2
1 — — dxdy
x y
R
Vx2—y2 dxdy，
于是球壳的质量为
其中D为 在xoy面上的投影域：x2 y2 R2 ,利用极坐标计算上述二重积分，得
R4
2r3
4R
不，于是半球壳的质心坐标为 3
4R (0,0,—). 3
.有一个分布着质量的曲面 ，在点(x, y,z)处它的面密度u(x, y, z),用对面积的
曲面积分表示这曲面对于 x轴转动惯量。
解：假设u(x, y, z)在曲面 上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块
dS,设(x,y,z)使曲面块dS内的一点，则由曲面块 dS很小，u(x, y, z)的连续性可知，
曲面块dS的质量近似等于u(x,y,z)dS,这部分质量可近似看作集中在点 (x, y,z)上，该
点到x轴的距离等于x2 y2,于是曲面对于x轴的转动惯量为： 2 2 2 2 一 一 一
dl x (z y )u(x, y,z)dS ,所以转动惯量为：I x (y z )u(x,y,z)dS
.按对面积的曲面积分的定义证明公式
f (x, y, z)dS f(x, y, z)dS f (x, y, z)dS ,其中 由 i 和 2组成
2
证明：因为f(x, y,z)在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面 怎样分割，积分
和总保持不变，因此在分割曲面 时，可以永远把 1和2的边界曲线作为分割线，从而保
证 Si整个位于 i上，于是 上的积分和等于 1上的积分和加上 2上的积分和，即
令各小块的直径的最大值趋向于 0,去极限得到：
f(x,y,z)dS f (x,y,z)dS f(x,y,z)dS
1 2
时xoy面内的一个闭区域 D时，曲面积分 f (x,y,z)dS和二重积分有什么关系。
解：当 时xoy面内的一个闭区域 D时， 在xoy上的投影区域即为 D, 上的
f(x, y,z)恒为 f (x, y,0),并且 zx z、 0 ,所以 f (x, y,z)dS f (x, y,0)dxdy , 即曲面积分与二重积分相等。