文档介绍：维纳滤波和卡尔曼滤波
Cauchy-Schwartz不等式：
当且仅当x(t) = cy*(t)时等号成立
等号成立时的滤波器的传递函数为：
当加性噪声为白噪声时，其功率谱为常数
滤波器的输出达到最大信噪比时，滤波
估计误差的均方值:E[|e(n)|2]
维纳(Wiener)滤波器符合最小均方误差准则MMSE
M维超椭圆抛物形曲面
当加性噪声为有色噪声时：
广义匹配滤波器
离散维纳滤波器的z域解
在时域设计维纳滤波器就是求解维纳-霍夫方程
1)求解该方程时需要计算自相关函数矩阵Rxx的逆矩阵，运算量很大。
2)滤波器的长度事先不能确定，当改变长度时，所有数据需要重新计算。效率很低。
因此，维纳滤波器的设计和求解，在频域和复频域进行更有效。
若不考虑滤波器的因果性
设d(n)=s(n)，对上式两边做z变换，得
假设期望信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则
上式表示，当噪声为0时，信号全部通过；当信号为0时，噪声全部被抑制掉，因此维纳滤波的确有滤除噪声的能力。
Pss(ejω)≠0, Pvv(ejω)=0
Pss(ejω)≠0, Pvv(ejω) ≠ 0
Pss(ejω)=0, Pvv(ejω) ≠ 0
非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性
然而实际的系统都是因果的。对于一个因果系统，不能直接转入频域求解的原因是：
因果系统时维纳霍夫方程成立的条件是k≥0
k = 0, 1, 2, …
rxd(k)，rxx(k)是双边序列，h(k)是单边序列
卷积定理在双边z变换下成立
卷积定理
对于因果系统，不能直接转入频域求解!
假设观测数据x(n)的信号模型B(z)已知，求出信号模型的逆系统B-1(z)，将x(n)作为输入，那么逆系统的输出ω(n)为白噪声。
回顾前面讲的时间序列信号模型
把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器.
x(n)的白化滤波器
x(n)的时间序列信号模型
用白噪声作为滤波器G(z)的输入，假设1/B(z)为信号x(n)的白化滤波器的传输函数，那么关于x(n)的维纳滤波器的传输函数H(z)表示为
因此，维纳滤波器H(z)的求解转化为G(z)的求解
图维纳滤波解题思路
非因果维纳滤波器的求解
假设待求滤波器G(z)的输入为ω(n)，期望信号d(n)=s(n)，系统的输出信号，g(n)是G(z)的逆z变换
均方误差为：
均方误差的第一项和第三项都是与g(k)无关的常数, 要使均方误差为最小，当且仅当
-∞＜k＜∞
因此g(k)的最佳值为
对上式两边同时做z变换，得
-∞＜k＜∞
维纳-霍夫方程
因此，非因果维纳滤波器的最佳解为
根据相关卷积定理, 得
对上式两边做z变换，得到
非因果的维纳滤波器的复频域最佳解的一般表达式
假定信号与噪声不相关，即E［s*(n)v(n)］=0
得到信号和噪声不相关时，非因果维纳滤波器的复频域最佳解和频率响应分别为
go
下面推导在复频域(z域)计算维纳滤波器最小均方误差E[|e(n)|2]min的方法
维纳滤波器的最小均方误差不仅与输入信号的功率谱有关，而且与信号和噪声的功率谱乘积有关，也就是说，最小均方误差与信号和噪声功率谱的重叠部分的大小有关
观察z域计算最小均方误差E[|e(n)|2]min的公式
维纳滤波器是一个因果滤波器时，有
g(n)=0 n＜0
则滤波器的输出为
类似于非因果时的推导，可得
因果维纳滤波器的求解
均方误差为：
要使均方误差取得最小值，当且仅当
双边序列
取其因果部分
求解因果序列问题转化为求解非因果序列的问题
所以因果维纳滤波器的复频域最佳解为
go
对于非因果情况
对于因果情况
非因果情况的E[|e(n)|2]min一定小于等于因果情况E[|e(n)|2]min
(2)求的z反变换，取其因果部分再做z变换，即舍掉单位圆外的极点，得
因果维纳滤波器设计的步骤为：
(1)根据观测信号x(n)的功率谱求出所对应的信号模型的传输函数，即采用谱分解方法得到B(z)。方法为Sxx(z)=σ2ωB(z)B(z-1)，单位圆内的零极点分配给B(z)，单位圆外的零极点分配给B(z-1)，系数分配σ2ω
(3)
例已知 x(n) = s(n) + v(n)
信号和噪声不相关,rsv(m)=0，噪声v(n)是零均值、单位功率的白噪声(σ2v=1