数值分析实验报告2——Runge现象.pdf

文档介绍：数值分析课程实验报告——插值逼近
函数的插值
1. Runge 函数
Runge 函数的表达式为：
说存在多大的技
术难度，只是因为插值过程中的步骤比较繁琐，因而代码也显得较为冗长。此处
依然采用等距节点，所得插值曲线与原曲线对比如图 （蓝色为原曲线，红色
为插值曲线）。从图中看出，三次样条插值的效果比分段线性插值更胜一筹，三
次样条插值曲线和原曲线在整个插值区间都基本处于重合状态，几乎没有肉眼可
见的偏差。同样，由于三次样条插值的插值函数最高次数只有 3，在等距节点下
也没有产生 Runge 现象。


图
1. 分段函数
定义在[-1,1]区间的分段函数的函数表达式为：

sin x,1 x  0

 1
f (x)  cos x,0 x 
 2
 1
0,  x  1
 2
其函数图像如图 。分段函数最大的特点就是在个别点上函数值或导数值存在
突变，因此可以预计，除了可能出现的 Runge 现象外，在那些突变点附近的插
值结果也可能会出现较大的偏差。下面将分别采用之前的四种插值方法在该函数
的[-1,1]定义域内对其进行插值。


图
插值
首先根据课本上的 Newton 插值算法进行编程。此处插值节点选择为等距插
值节点，即：x    ih(i  0,1,2,…,20)
i
其中 h=。插值曲线与原曲线的对比如图 （蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。
从图中看出，与 Newton 法对 Runge 函数的插值结果相比