考研数二真题及答案.doc

文档介绍：研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)设,其中,则当时,是( )
(A)比高阶的无穷小(B)比低阶的无穷小
(C)与同阶但不等价的无穷小(D)与等价的无穷小
(2)设函数由方程确定,则( )
(A) (B) (C) (D)
(3)设函数,,则( )
(A) 是函数的跳跃间断点 (B) 是函数的可去间断点
(C)在处连续但不可导(D)在处可导
(4)设函数,若反常积分收敛,则( )
(A) (B) (C) (D)
(5)设,其中函数可微,则( )
(A) (B) (C) (D)
(6)设是圆域在第象限的部分,记,则( )
(A) (B) (C) (D)
(7)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,若
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
(D)矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
(8)矩阵与相似的充分必要条件为
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) .
(10) 设函数,则的反函数在处的导数.
(11)设封闭曲线L的极坐标方程为,则L所围成的平面图形的面积为.
(12)曲线上对应于的点处的法线方程为.
(13)已知,,是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,该方程满足条件的解为.
(14)设是三阶非零矩阵,为A的行列式,为的代数余子式,若
三、解答题:15—23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
当时,与为等价无穷小,求与的值。
(16)(本题满分10分)
设是由曲线,直线及轴所围成的平面图形,分别是绕轴,轴旋转一周所得旋转体的体积,若,求的值。
(17)(本题满分10分)
。
(18)(本题满分10分)
设奇函数在上具有二阶导数,:
(I)存在,使得;(II)存在,使得。
(19)(本题满分11分)
求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
(20)(本题满分11分)
设函数,
(I)求的最小值
(II)设数列满足,证明存在,并求此极限.
(21)(本题满分11分)
设曲线的方程为,
(1)求的弧长;
(2)设是由曲线,直线及轴所围平面图形,求的形心的横坐标。
(22)(本题满分11分)
设,当为何值时,存在矩阵使得,并求所有矩阵。
(23)(本题满分11分)
设二次型,记。
(I)证明二次型对应的矩阵为;
(II)若正交且均为单位向量,证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)设,其中,则当时,是( )
(A)比高阶的无穷小(B)比低阶的无穷小
(C)与同阶但不等价的无穷小(D)与等价的无穷小
【答案】(C)
【解析】因为,所以,
因此当时,,所以,所以,
所以是与同阶但不等价的无穷小。
(2)设函数由方程确定,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(A)
【解析】由于,所以,
对此隐函数两边求导得,所以,故。
(3)设函数,,则( )
(A) 是函数的跳跃间断点 (B) 是函数的可去间断点
(C)在处连续但不可导(D)在处可导
【答案】(C)
【解析】,
由于,所以在处连续;
,,
所以在处不可导。
(4)设函数,若反常积分收敛,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
【解析】
因为,
当时,,
要使存在,需满足;
当时,,
要使存在,需满足;所以。
(5)设,其中函数可微,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(A)
【解析】已知,所以,
所以。
(6)设是圆域在第象限的部分,记,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(B)
【解析】令,则有

故当时,,此时有故正确答案选B。
(7)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,若,且可逆,则( )
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
(D)矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】(B)
【解析】