文档介绍：积分变换 第6讲
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拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这些条件
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1. 线性性质
若a,b是常数
L [f1(t)]=F1(s), L [f2(t)]=F2(s),
则有
L [af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)
L -1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
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[f(t)]=F(s), 则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0) () 证根据分部积分公式和拉氏变换公式
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推论若L [f(t)]=F(s), 则 L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0) =s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0) =s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0) ... L [f(n)(t)]=sL [f(n-1)(t)]-f(n-1)(0) =snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f '(0)-...-f(n-1)(0) () 特别, 当初值f(0)=f '(0)=...=f(n-1)(0)=0时, 有 L [f '(t)]=sF(s), L [f ''(t)]=s2F(s), ..., L [f(n)(t)]=snF(s) () 此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.
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例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变换. 由于f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=-k2cos kt, 则 L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0). 即 -k2L [cos kt]=s2L [cos kt]-s 移项化简得
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例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其中m是正整数. 由于f(0)=f '(0)=...=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m! 所以L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)]-sm-1f0)- sm-2f '(0)-...-f(m-1)(0) 即 L [m!]=smL [tm]
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此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则 F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c. () 和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c. () 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序
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例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.
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3. 积分性质若L [f(t)]=F(s)
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