文档介绍：1
3-5 线性控制系统的稳定性分析
自动控制系统的基本性能(要求)之一:稳定性
分析系统动态和稳态指标必须在系统稳定的前提下进行。稳定是压倒一切的。
研究内容:
稳定性的概念(局限于线性系统)
线性系统稳定的充要条件
代数稳定性判据及其应用
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稳定性的基本概念
稳定是系统正常运行的前提,是控制理论研究的重要课题。
李亚普诺夫稳定性理论
如果一个线性控制系统在初始扰动作用下,其动态过程随时间的推移逐渐衰减并恢复到原始的平衡状态,则称系统是渐进稳定的,简称稳定。
反之,若在初始扰动作用下,系统的动态过程随时间的推移而发散,称系统是不稳定的。
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基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况,它与系统的输入信号无关,是系统本身固有的特性,因而可用系统的脉冲响应函数来描述。
线性系统的稳定性取决于系统的固有特征(结构、参数),与系统的输入信号(外部扰动量)和初始值无关。
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设初始条件为零时,输入为一个理想的单位脉冲函数,即R(S)=1。当作用时间t>0时, =0.
即输出增量收敛于原平衡工作点,则系统是稳定的。
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设闭环系统的传递函数:
设为系统特征方程的根,而且彼此不等。
系统输出:
对上式进行拉氏反变换,得到理想脉冲函数作用下的输出:
上式表明,线性系统稳定的充要条件是:闭环系统特征方程的
所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均分布在
平面的左半部。
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不稳定系统:
有一个或一个以上的正实部根。
临界稳定:
有一个或一个以上的零实部根或一对纯虚根,而其余的特种根都有负实部。
工程上,临界稳定为不稳定系统。临时稳定现象实际上时观察不到的。
稳定区
不稳定区
临界稳定
S平面
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对于一阶系统, 只要都大于零,系统是稳定的。
对于二阶系统,
只有都大于零,系统才稳定(负实根或实部为负)
对于三阶或以上系统,求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。
充要条件说明
注意:稳定性是线性定常系统的一个属性,只与系统本身的结构参数有关,与输入输出信号无关,与初始条件无关;只与极点有关,与零点无关。
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. 代数稳定性判据
1877年,劳斯(Routh)提出了判断n次代数方程所有根都具有负实部的一般方法。
1895年,瑞士数学家赫尔维茨(Hurwitz)也独立提出了同样的结果,只是形式不同。
一种间接判断系统特征根是否具有全部负实部的方法
系统特征方程:
系统稳定需要满足必要条件(否则不稳定):
⑴系统特征方程次数不缺项
⑵系统特征方程系数符号一致(全为正或负)
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(一)、赫尔维茨判据
赫尔维茨判据
设系统的特征方程式为:
则系统稳定的充要条件是: ,且由特征方程系数构成的赫尔维茨行列式的主子行列式全部为正。
赫尔维茨行列式的构造:主对角线上的各项为特征方程的第二项系数至最后一项系数,在主对角线以下各行中各项系数下标逐次减小,在主对角线以上各行中各项系数下标逐次增大。当下标大于n或小于0时,行列式中的项取0。
赫尔维茨行列式:
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赫尔维茨判据
以4阶系统为例使用赫尔维茨判据:
赫尔维茨行列式为:
稳定的充要条件是: