文档介绍：立体几何中的向量方法
平行与垂直关系
【基础知识在线】
知识点一空间的方向向量与平面的法向量 ★★★
考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量
利用方向向量与法向量表示空间角
利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系
知共线向量，设出平面的法向量
列出方程组，求出的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，取其中一组解（非零向量）即可.
变式训练1 .在正方体ABCD AB1CQ1中，E,F分别是BB1,DC的中点，求证:
是平面AD〔F的法向量.
证明
图 3-2-1
设正方体的棱长为1 ,建立如图所示的空间直角坐标系，则
1 — 1
A1,0,0,E 1,1, ,AE 0,1,, 2 2
D1 0,01 ,F 0,-,0 ,A1 1,01 ,
一 1
D1F 0,-, 1 ,AD1 1,0,0 .
2
....
AE D1F - - 0,AE AD1 0, AE D1F,AE AD,
又 D1F A1D1 D1,
AE 平面 A1D1F,
AE是平面A1D1F的法向量.
证明平行问题
例2在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是BiDi的中点，求证：B〔C//平面ODC1.
【思维分析】 在平面内找与向量 BC平行的向量 而，由向量的相等，得线线平行，从尔 ，求 BiC的方向向量和平面 ODCi的法向量，利用向
量的垂直，可得线面平行.
证明方法一 ••• BC= 媪，又Bi AiD ,
B1C〃AD,又 AD 平面 ODC1，
BiC //平面 ODCi.
方法二
图 3-2-2
建系如图，设正方体的棱长为 i ,则可得
- -i i -
mcO,QOH C o,1,1'
— — 1 1 — 1 1
B1c 1,0, 1,OD -, -, 1 ,OCi -,-,0
2 2 2 2
设平面ODCi的法向量为n x, y,z ,
则n OD n OC1
1
—x
2
1
—x
2
1
y
2
1
2y
1, z
,
B1C
z 0
0
1 .
0,
B1c //平面 ODC1.
【评析】 向量法证明几何中的平行问题， 可以有两个途径，一是在平面内找一向量与已知
直线的方向向量共线； 二是通过建立空间直角坐标系， 依托直线的方向向量和平面的法向量
的垂直，来证明平行.
A1B1c1D1中，E,F分别在DB, D1C上，且
2 …
DE DiF ——a ,其中a为正万体棱长. 3
求证：EF //平面BB1c1c.
证明
图 3-2-3
如图所示，建立空间直角坐标系 D xyz ,则
E 35°
a 2a
下 °，3V
- 2a c a
故EF ——,°, 一
3 3
又AB °,a,°显然为平面BBiCiC的一个法向量,
而 ABEF °,a,°
°,
I I
.•.AE ± EF .
又E 平面BB1cle ,因此EF //平面BB1c1c.
ABCD A〔B1c1□〔中，E为棱CC1上的动点.
(1)求证：A1E BD； (2)若平面ABD 平面EBD,试确定点E的位置.
囹 3-2-4
【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于(1 ),
a1e|bD ° A1e
BD；对于(2),利用已知条件平面
A1BD
平面EBD,通过垂直
条件下的向量数量积等于 °,求得点E的位置；取 BD的中点O,易证
AOE是二面角
A bd e的平面角，利用向量数量积证明
°即可.
［解析］以DA, DC, DDi所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为 a.
(1) Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,Ai a,0,a ,Ci 0,a,a ,
设 E 0, a,m ,则 AE a,a,m a , BD a, a,0 ,
aE|bD a2 a2 0 0,所以
AiE BD ,即 AE BD .
(2)法一：设BD的中点为O,
一 a a
连接 OE , OA,则 O - ,-,0 ,
2 2
-- a a —
所以 OE -,-,m ,BD
2 2
a, a,0 ,
因为 BCE^ DCE ,所以ED
EB ,所以OE
BD,
又OA |, |,a ,所以OA|BD 0,所以OA BD,所以 AQE是二面角
A BD E的平面角，因为平面 ABD 平面EBD,所以 AOE —
2