文档介绍：哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子是一种重要的微分算子
由它作为工具,可导出一系列美妙的结论,它把数量场的梯度与矢量场的散度和旋度简洁地呈现出来
麦克斯韦的电磁学方程组微分形式就是用哈密顿算子表示起来极其简洁、明了
可以说,算子简化了复杂的理论,且通过它可把远离的理论巧妙地联系起来
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
英汉对对碰
Operator▽
Gradient
Divergence
Curl
哈密顿算子
梯度(grad)
散度(div)
旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
定义向量微分算子
称为▽( Nabla ,奈布拉)算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子
矢量性
微分算子
只对于算子▽右边的量发生微分作用
例如麦克斯韦方程组的微分形式为
引进哈密顿算符:
神奇!
考虑压强标量场,空间某点的梯度,记为,定义为如下矢量:
。
。
笛卡尔坐标系下梯度表达式:
梯度和方向导数的关系:
标量场的梯度(gradient)
矢量场的散度(divergence)
对矢量场,在笛卡尔坐标系下其散度定义为:
对速度矢量场,流体微团运动分析证明速度散度的物理意义是标定流体微团运动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl)
对矢量场,在笛卡尔坐标系下其旋度定义为:
对速度矢量场,流体微团运动分析证明速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
则
则