文档介绍：椭球面元素归算至投影面——高斯投影
测绘工程系
一、长度比
高斯投影概述
或者
长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。
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高斯投影是等角横轴切椭圆柱投影。
高斯投影是一种等角投影。它是由德国数K ；
PC为垂直于中央子午线的大地线，C点大地坐标（B0,l =0）；
PP1为过P点平行圈，P1点的大地坐标（B,l =0）；
X为赤道至纬度B的平行圈子午弧长。
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三、椭球面三角系化算到高斯平面
高斯投影面上：
中央子午线和赤道分别为直线ON '及OE ' ，
其他子午线和平行圈均变为曲线。
P'N'是PN的投影，P' P 1'是PP1的投影；
P'的直角坐标为（x,y）；
因是等角投影，大地方位角APK投影后没有变化。
三角形投影后变为边长si的曲线三角形(长度大于椭球面上的边长)，且曲线都凹向纵坐标轴;
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1、椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析
（1）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线。为此，必须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正；
（2）根据始点P的大地坐标B,L计算其平面坐标的坐标正算公式；
（3）反算公式；
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1、椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析
（4）确定平面三角形各边坐标方位角a。
（5）确定平面三角形各边长。
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(1)高斯投影坐标计算
将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；根据（x,y）反算（B,L）。
(2) 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。
(3)通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。
(4)通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。
(5)控制网跨越两投影带时，需要进行平面坐标的邻带换算。
2、将椭球面三角系化算到高斯投影面的主要内容
将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改正、距离改正和子午线收敛角等项计算工作。
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第一类称高斯投影正算公式，亦即由（B, L）求（x、y）;
第二类称高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（B, L）。
高斯投影坐标正反算
一、高斯投影坐标正算公式
高斯投影必须满足以下三个条件：
①中央子午线投影后为直线；
②中央子午线投影后长度不变；
③投影具有正形性质，即正形投影条件。
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(1)°时，精度为±
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(2)：
自赤道量起的到所求点的子午线弧长
所求点的大地经度与该点所在带的中央子午线的大地经度之差
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二、高斯投影坐标反算公式
投影方程
①x坐标轴投影后为中央子午线,是投影的对称轴；
② x坐标轴投影后长度不变；
③投影具有正形性质。即高斯面上的角度投影到椭球面上后角度没有变形，仍然相等。
投影函数φ1、φ2应满足以下三个条件：
首先根据x计算纵坐标在椭球面上的垂足纬度Bf，接着按Bf计算(Bf-B)及经差l,最后得到
反算公式的推导方法的基本思想：
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2. ″的高斯投影坐标反算公式
垂足纬度。
其值由子午线
弧长计算公式反算求得
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1. 正算实用公式
高斯投影坐标计算的实用公式
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2. 反算实用公式
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方向改化公式
方向改正数就是指大地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。
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设地球椭球为一圆球；
OD为轴子午线；
AB为一条大地线(是球面上一条大圆弧)，投影为曲线ab ；
AD、B E是与轴子午线正交点大圆弧，投影分别为垂直于x轴的直线ad和be。
一、方向改化近似公式的推导
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方向改化概略数值
″，可适用于三、四等三角测量的计算
由表可见，对于各等三角测量计算，方向改正都不能忽略。
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1)用勒让德尔定理解算球面三角形
1、准备知识
二、方向改化较精密公式的推导
勒让德尔定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。
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P为平面三角形的面积。
可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于90km时，″，可忽略。
2)球面角超的计算
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设地球椭球为一圆球；
AB为轴子午线;
小圆弧P1Q与轴子午线平行，垂直于BQ、AP1，投影为P'Q'；
大圆弧P1CQ的投影为曲线P1‘C’Q‘。
2、方向改化较精密公式的推导