文档介绍：方差分析(analysis of variance)就是采用数理统计方法对数据进行分析，以鉴别各种因素及因素间的交互作用对研究对象某些试验指标的影响大小的一种有效方法.
第一节方差分析
一、问题的提出
注：方差分析简记为ANOVA
组间(因子A的)偏差平方和:
反映因子A的不同水平效应间的差异
组内(误差)偏差平方和:
反映了随机误差ij对
试验结果影响的总和
ST =SA +Se , f T = f A +f e — 平方和分解公式
定理1:
4. 检验方法
若SA显著地大于Se，说明间的差异显著地大于随机误差，那么 H0 可能不成立.
取检验统计量
当 H0 成立时,
因此拒绝域为
5、方差分析表 (analysis of variance table):
f T= n - 1
ST
总和
MSe=Se / fe
f e= n - r
Se
误差
F=MSA
/ MSe
MSA=SA / fA
f A = r - 1
SA
因素
Ｆ比
均方和
自由度
平方和
方差来源
注：数据复杂时，采用EXCEL软件可得到分析结果，并可给出检验的 p 值．即 p=P(X≥F), 其中X~ F(r-1,n-r)．
判断：
四. 数据结构式及其参数估计
1. 数据结构式
其中μ为总体均值，αi为第 i 个水平的效应, 且
εij 为试验误差,
在上述结构式下,
i=1,…,r, j=1, …,m 且独立
2. 点估计
用最大似然估计法可求出一般平均μ,各主效应αi 和误差方差σ2的估计.
总平均μ的估计:
主效应αi 的估计:
误差方差σ2 的估计:
各水平均值μi 的估计:
由于它不是σ2 的无偏估计, 实用中采用:
＝MSe
置信区间
由于
且两者独立, 故
故,各水平均值μi 的1- α置信区间为
, Se /σ2 ~ χ2 (n - r),
注：单因子试验的统计分析可得如下三个结果:
(1) 因子 A 是否显著.
(2) 试验的误差方差σ 2 的估计.
(3)各水平均值μi 的点估计与区间估计.
(此项在因子A不显著时无需进行)
五. 重复数不等情形下的方差分析
1. 数据略有不同
T
T
n
合计
Tr
yr1, yr2 ,…., yrmr
mr
Ａr
…
…
…….
…
T2
y21, y22 ,…., y2m2
m2
Ａ２
T1
y11, y12 ,…., y1m1
m1
Ａ１
平均
和
试验数据
重复数
水平
设因素 A 有 r 个水平A1，A2, …, Ar . 且第 i 水平Ai下重复进行mi 次试验, i=1, …,r, 获如下数据:
2. 基本假定、平方和分解、方差分析及判断准则相同
计算公式稍有不同。特别注意 SA 的计算公式！
统计模型为:
记
则各平方和公式为：
例2 茶是一种饮料，它含有叶酸（folacin），这是一种维他命B。如今要比较各种茶叶中的叶酸含量。现选定绿茶，这是一个因子，用A表示。又选定四个产地的绿茶，记为A1, A2, A3, A4，它是因子A的四个水平。测定试验误差，需要重复。选用不平衡设计，即A1, A2, A3, A4分别制作了7,5,6,6个样品，共有24个样品。试对之进行方差分析，从中可得到什么结果？
若取显著性水平α=．查表可得
由于F>，故应拒绝原假设
即认为四种绿茶的叶酸平均含量有显著差异．
从方差分析表上还可以获得
诸均值的参数估计
故均值
的95%的置信区间是[，]．
思考：
方差分析中的检验与两个独立正态总体（方差未知且相等）中均值差的检验有何异同？
补充一：多重比较
在确认因子 A 的 r 个水平均值间有显著差异的情况下，进一步要问：哪些水平均值间确有显著差异，那些水平均值间无显著差异，这就要进行多重比较．
同时比较任意两个水平间有无显著差异的问题称为多重比较问题．
譬如，r=3 时，同时检验如下三个假设
若r较大，要同时检验个假设，即:
多重比较
因此拒绝域形式：
同时考虑
考察因子A的r个水平，每个水平下重复数为mi .假设诸试验数据
，则样本均值
应是
的良好估计，
若假设为真，
不应过大，过大就应拒绝
下面讨论临界值 cij 的确定：（分两种情况）