信息安全数学基础（陈恭亮）ff1.ppt

文档介绍：有限域(Finite Fields)
汤学明 xmtang126@
信息安全实验室
参考书目
《代数与编码》万哲先,科学出版社出版,华中科技大学出版社影印。
《有限域》冯克勤,走向数学丛书,湖南教育出版社。
《近世代数》熊全淹,武汉大学出版社。
课程内容
域的基本性质(4学时)
域的定义
域的运算规则
二项式定理
多项式和有理分式(4学时)
域上的多项式的定义和计算
带余除法
唯一因式分解定理
余元定理
多项式的根
域的扩张
域上有理分式的定义和计算
课程内容
域的特征(2学时)
特征的定义和基本性质
域的同构和素域
有限域上的运算规则
有限域的乘法群(2学时)
交换群和阶
有限域的乘法群的性质
课程内容
有限域的结构(6学时)
有限域的结构定理
极小多项式
本原多项式
交换环*(4学时)
交换环和理想
商群和同余类环
孙子定理和环的直和分解
课程内容
有限域上的多项式(4学时)
辗转相除法
多项式的周期
多项式的因式分解
确定不可约多项式和本原多项式的问题
有限域的应用*(6学时)
有限域在分组密码算法上的应用
有限域上的椭圆曲线
基于编码理论的公钥密码系统
一、域的基本性质
有限域的起源
17世纪起,费尔马(Fermat,1601-1665)、欧拉(Euler,1707-1783),勒让德(Legendre,1752-1833)和高斯(Gauss,1777-1855)等大数学家研究数论得到了同余式的许多性质,实质上也就研究了p元有限域的许多性质。
第一个明确讨论任意有限域的是法国年青数学家伽罗华(Galois,1811-1832),1828年《关于五次方程的代数解法问题》,产生群的概念,1830年《关于数论》在p元有限域的基础上,利用扩张方法构造了全部可能的有限域。所以有限域通常也叫伽罗华域。
1901年,狄柯逊(Dickson),《线性群和伽罗华域理论》,将域表示成现在的形式。
域的定义
定义1的理解:
对于加法和乘法是自封闭的.
一个域至少有两个元素0与e.
所有元素对于加法形成交换群,所有非零元素对于乘法形成交换群.
说一个集合是域的时候,除了要指明集合本身以外,还要指明定义在该集合上的加法和乘法.