文档介绍：一元线性回归分析和多元线性回归分析
一元线性回归分析
[•简单介绍
当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量因和自变量因之间的 相 关关系）； 当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量因和自变量冋，囤，…，冋之间为实际值的预测值
5 •精度分析
对于给定的因，根据回归模型就可以求出冋的预测值。但是用曲来预测匡］的
精度如何，产生的误差有多大是我们所关心的。这里釆用测量上常用的精度指标来度量回归方 程的可靠性。一个回归模型的精度或剩余标准离差定义式为
方差相等，则有 %的点落在囲的范围内，的范圉有 %的点落在 内，有 %的点落 在| ±3b |的范用内。
根据参数平差理论可知，M的协因数矩阵为
4=何亦二丄［匕+応 2)/****2_12)
S” T 1
从而， HI 的方差估值为
(2-13)
6 •线性回归效果的显著性检验
对一元线性回归模型的统计检验包括两个内容：一是线性回归方程的显著性
检验；二是对回归系数进行统讣推断。
在一元线性回归分析中，线性回归效果的好坏取决于匡］与冈的线性关系是否密 切。若剧 越大，因随因的变化趋势就越明显；若剧越小，匡］随匡］的变化趋 势就越不 明显。特别的， 当囱时，意味着匡］与匡］之间不存在线性相关关系，所建立的线性 回归方程没有意义。所以， 只有当嗣时，因与因之间才有线性相关关系，所建立的线性回归方程才有实际意义。因此，对线 性回归效果好坏的检验，就归结为对统计假设冋：舛=0;耳：旳工0|的检验。若拒绝回，就认为 线性 回归有意义；若不能拒绝回，就认 为线性回归无意义。下面介绍两种检验方法：匡］检验 法和相关系数检验法。
1 •回检验法
进行 F 检验的关键在于确定一个合适的统计量及其所服从的分布。当原假设 成立 时，根 据 F 分布的定义可知
（2-14）
当给定显著性水平 0= 或 ,由 F 分
布分位数值表得临界值7a （I,--2）|,曲样本观测值计算出统计量F的实测值。若|Fnf；
p （U -2） 1,则
以显著水平叵］拒绝囤；若1则以显著水平叵］接受闷。一般按下述标准判断。
（1） 若卩沁9 （仏列，则认为线性回归方程效果极显著。
（2） 若|®95（ 1, —2）SFv®99_ （1, —2）则认为线性回归方程效果显著。
（3） 若卩5』丿呵,则认为线性回归效果不显著。
相关系数检验法是通过因与因之间的相关系数对回归方程的显著性进行检 验的， 由样本观测值，即陆，j心，丿儿），…儿），可以得到相关系数的实测值为
f-l
1-1
相关系数|0“列,现作如下进一步分析。
⑴当巨］时，|5XV = 0|,因而|q=0|,此时线性回归方程$二总+ & ；二山茂 明因与囚之间不存在线 性相关关系。
当|0<lrl<l|W,匡］与冈之间存在一定的线性相关关系，当匸迈］时，h>o|,
此时称匡］与因正相关：，〃丨丨广v01时，蛋此时称匡］与因负相关；当阿越 接近于 0时，此时因与因的线性关系越微弱；当回越接近于1时，此时因与囚的线性 关系越强。
当 0］二 1时，匡］与因完全线性相关，表明匡］与因之间存在确定的线性函数
关系；当T时，称匡］与因正相关；当9时，称因与因负相关。当给定显著 性水平 ［£> ,由
P (lrl< A(/i-2))=1-a (2-16)
来判断线性回归方程的效果。若本观测值算出的相关关系实测值|虫j(_2)则以显著性 水平的关 系叵］拒绝囤；若卩〃虫(一 2)1,则以显著性水平的关系叵］接 受回。一般按下述标准判断。
若匕込如辺则认为线性回归方程效果极显著。
若血血• 2)_<如(2)1,则认为线性回归方程效果显著。
若卜〈仏(“-2)|,则认为线性回归效果不显著。
临界值r,_a(〃-2)可由下式确定
切虫(1,幵一 2)
(2-17)
斤 a( T • 2)+(八一 2)
7・［实例解算］
设某线性回归问题的自变量冋和观测值冈的数据如表2 - 1所示，试求其回归方
程。
表2J
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
25
27
29
32
34
36
35
39
42
45
0
or
⑴回归方程的建立。 由表中数据计算得
= 34,4
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S - Ulj =XV - HX2 = =3724 J=1 (=i
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