文档介绍：求轨迹方程的常用方法
知识梳理:
(一)求轨迹方程的一般方法:
1. 待定系数法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法:如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。
3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0。
4. 代入法(相关点法):如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程。
:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等),可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单。
6:交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这灯问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用。
(二)求轨迹方程的注意事项:
1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。
来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形。
。在此不一一缀述。
课前热身:
1. P是椭圆=1上的动点,过P作椭圆长轴的垂线,垂足为M,则PM中点的轨迹中点的轨迹方程为: ( )
A、 B、 C、 D、=1
【答案】:B
【解答】:令中点坐标为,则点P 的坐标为(代入椭圆方程得,选B
2. 圆心在抛物线上,并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是( )
A B
C D
【答案】:D
【解答】:令圆心坐标为(,则由题意可得,解得,则圆的方程为,选D
3: 一动圆与圆O:外切,而与圆C:内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:
A:抛物线B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支
【答案】:D
【解答】令动圆半径为R,则有,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。故选D。
4: 点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上运动,则点M(2x0,y0)的轨迹是( )
B. 焦点在y轴上的椭圆
C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线
【答案】:A
【解答】:令M的坐标为则代入圆的方程中得,选A
一:用定义法求曲线轨迹
求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得出方程。
例1:已知的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C 为动点,且满足求点C的轨迹。
【解析】由可知,即,满足椭圆的定义。令椭圆方程为,则,则轨迹方程为(,图形为椭圆(不含左,右顶点)。
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
圆:到定点的距离等于定长
椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)
双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)
到定点与定直线距离相等。
【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1,圆的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。
解:设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:,。
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。
故所求轨迹方程为
2:一动圆与圆O:外切,而与圆C:内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:
A:抛物线B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支
【解答】令动圆半径为R,则有,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义