文档介绍：
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
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对坐标的曲线积分
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一、
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
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对坐标的曲线积分
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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,
求移
变力沿直线所作的功
动过程中变力所作的功W.
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把L分成 n 个小弧段,
有向小弧段
近似代替,
则有
所做的功为
F 沿
则
用有向线段
上任取一点
在
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“近似和”
“取极限”
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
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2. 定义.
设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧,
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
都存在,
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分,
则称此极限为函数
或第二类曲线积分.
其中,
L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
称为被积函数 ,
在L 上定义了一个向量函数
极限
记作
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若 为空间曲线弧 , 记
称为对 x 的曲线积分;
称为对 y 的曲线积分.
若记
, 对坐标的曲线积分也可写作
类似地,
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3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
则
定积分是第二类曲线积分的特例.
说明:
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
存在, 且有
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特别是, 如果 L 的方程为
则
对空间光滑曲线弧 :
类似有
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例1. 计算
其中 L 为
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向;
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
(2) 取 L 的方程为
则
则
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例2. 计算
其中L 为沿抛物线
解法1 取 x 为参数, 则
解法2 取 y 为参数, 则
从点
的一段.
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例3. 计算
其中L为
(1) 抛物线
(2) 抛物线
(3) 有向折线
解: (1) 原式
(2) 原式
(3) 原式
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例4. 设在力场
作用下, 质点由
沿移动到
解: (1)
(2) 的参数方程为
试求力场对质点所作的功.
其中为
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例5. 求
其中
从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程
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三、两类曲线积分之间的联系
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1、区别:
2、联系
a、第一类曲线积分与方向无关，第二类曲线积分与方向有关
b、第一类曲线积分弧长元素，第二类曲线积分变量变化量
a、积分路径均为曲线
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设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
已知L切向量的方向余弦为
故两类曲线积分有如下联系
b、相互可以转化
弧微分为
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