文档介绍：2016计算方法复****br/>务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容:
会高斯消去法;会矩阵三角分解法;会Cholesky分解的平方根法求解方程组
会用插值基函数;会求Lagrange, 会计算差商和Newton插值多项式和余项
会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式,迭代矩阵,谱半径,收敛性
会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速
会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题
会最小二乘法多项式拟合
会计算求积公式的代数精度;(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分;高斯-勒让德求积公式
第1章、数值计算引论
(一)考核知识点
误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限,相对误差和相对误差限,有效数字;误差的传播。
(二) 复****要求
。
,会求有效数字; 会简单误差估计。
。
(三)
例题
设x=*=,则x有2位有效数字。
为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写为。
例3. 的相对误差约是的相对误差的1/3 倍.
第2章、非线性方程的数值解法
(一)考核知识点
对分法;不动点迭代法及其收敛性;收敛速度; 迭代收敛的加速方法;埃特金加速收敛方法;Steffensen斯特芬森迭代法;牛顿法;弦截法。
(二) 复****要求
。
;了解收敛阶的概念和有关结论。
。
、下山法, 了解重根情形。
。
(三)例题
―x2―1=0在区间[,]内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是( )
(A) (B)
(C) (D)迭代公式
解:在(A)中,=
故迭代发散。应选择(A)。
可以验证在(B),(C), (D)中,j(x)满足,迭代收敛。
, 要求。
解此方程在区间内只有一个根,而且在区间(2,4)内。设
则,
Newton法迭代公式为
,
取,得。
,求方程根的Newton迭代格式为
4. 牛顿切线法是用曲线f(x)上的点的切线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)=0的解;而弦截法是用曲线f(x)上的;两点的连线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)=0的解.
5. 试确定常数使迭代公式
.
产生的序列{}收敛到,并使收敛阶尽量高.
解因为迭代函数为,,要使收敛阶尽量高,应有,,,由此三式即可得到所满足的三个方程为:
,,.
解之得,,且,故迭代公式是三阶收敛的.
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P35例2-10
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第3章、线性代数方程组的数值解法
(一)考核知识点
高斯消去法,列主元消去法;矩阵三角分解法;平方根法;追赶法;迭代法的基本概念,雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法,超松弛迭代法SOR,迭代解数列收敛的条件。
(二) 复****要求
,了解向量和矩阵的几种范数。
,掌握高斯列主元素消去法。
,平方根法,了解追赶法,了解有关结论。
,会求其条件数。
。
(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。
(三)例题
(杜利脱尔分解)求解线性方程组
解:1) Gauss消去法
,
回代 x3=3, x2=2, x1=1
2) 直接三角分解法(杜利脱尔分解):
=LU
解Ly=b得y=(14,-10,-72)T
解,Ux=y得x=(1,2,3)T
2. 用平方根法(Cholesky分解)求解方程组:
解:由系数矩阵的对称正定性,可令,其中L为下三角阵。
求解可得,
求解可得
-Seidel迭代的收敛性
其中,
解:Jacobi迭代法的迭代矩阵
则
Jacobi迭代收敛
Gauss-Seidel迭代矩阵
Gauss-Seidel迭代发散.
,其中
,
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seide