文档介绍：几何学的新天地
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平行公设是欧式几何的家丑。
——达朗贝尔
“过直线外一何。
非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义是泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
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萨凯里本想通过逻辑证明来排除钝角和锐角两种情况，从而间接证明转角假设为真，即平行公设为真。结果他却得到了一个没有矛盾的新几何体系——双曲几何。
但他却以“结论不合情理”而否认了，并在书末写到“欧式几何无懈可击”。为什么呢？有两种说法。
有人说，因为欧式几何有2000年的传统，对人们的影响根深蒂固，萨凯里无法突破思想上的束缚。
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还有人说：萨凯里完成自己的研究后，教会做出了没收、充公的暗示。萨凯里也许自始至终认为在锐角下找不到矛盾，只不过为了让他的著作能通过教会的审查，才毫无诚意地做了个不可能愚弄数学家的谬论。
萨凯里走到了一个新奇世界的门口，但是他没有继续下去，否则他的研究将成为几何学史上最伟大的发现，他本人也将成为新学科——非欧几何的创立者。
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另一个对新几何的产生做出重要贡献的是瑞士数学家兰贝特．他继承了萨凯里的方法，从考察一个三个角都是直角的四边形出发，研究其第四个角是直角、钝角和锐角的可能性．兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论．他没有像萨凯里那样囿于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第五公设的可证明性提出了怀疑．在他的思想中甚至包含了非欧几何学可以存在的想法，这是观念上的一个重要冲破．但他未能对这种几何的现实性提出任何见解，因而也就未能再向前迈出一步．
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高斯是真正预见到非欧几何的第一人, 1792年，当他15岁时，已经有了第五公设不可证和非欧几何的思想萌芽．以后相继得到许多这方面的重要结果．但他动摇徘徊了25年之久，直到1817年才牢固树立起坚定信念．不幸的是，由于康德的唯心主义空间学说和在数学界占统治地位的所谓现实空间只能是欧氏空间这旧传统观念，给高斯以很大的精神压力，因而毕其一生关于此问题也没有发表什么见解 .
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预见到非欧几何的第二人鲍耶．在青年时代就醉心于第五公设的证明．他不顾父亲的劝告，坚持研究，终于建立了非欧几何．1823年11月3日，他高兴地写信告诉父亲：“我已从乌有中创造了另一个新奇的世界．”当他父亲把鲍耶的研究成果写信告诉高斯的时候，高斯感到十分吃惊，回信说：“这和我40年来沉思的结果不谋而合．”鲍耶看到高斯的回信，大大刺伤了自己的自尊心，，不再研究这一问题．
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高斯的保守，鲍耶的消沉，使非欧几何的诞生推迟了时间．只有俄国数学家罗巴切夫斯基(1793―1856)才无愧于享有这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号．
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“哥白尼”
1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人——罗巴切夫期基。
    非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。
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不过，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。
    罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一，它是由古希腊学者最先提出来的
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罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。
    罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保