文档介绍：lecture9因子分析
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即互不相关，方差不一定相等， 。
用矩阵的表达方式
二、Q型因子分析模型
Q型因子分析模型有：
型中的特殊因子是不重要的，因而从的分解中忽略了特殊因子的方差。
注：残差矩阵
其中S为样本的协方差矩阵。
（二）主因子法
主因子方法是对主成分方法的修正，假定我们首先对变量进行标准化变换。则
R=AA’+D
R*=AA’=R-D
称R*为约相关矩阵， R*对角线上的元素是 ,而不是1。
直接求R*的前p个特征根和对应的正交特征向量。得如下
的矩阵：
当特殊因子 的方差不同且已知的，问题非常好解决。
在实际的应用中，个性方差矩阵一般都是未知的，
可以通过一组样本来估计。估计的方法有如下几种：
首先，求 的初始估计值，构造出
1）取 ，在这个情况下主因子解与主成分解等价；
2）取 ， 为xi与其他所有的原始变量xj的复相关系数的平方，即xi对其余的p-1个xj的回归方程的判定系数，这是因为xi 与公共因子的关系是通过其余的p-1个xj 的线性组合联系起来的；
3）取 ，这意味着取xi与其余的xj的简单相关系数的绝对值最大者；
4）取 ，其中要求该值为正数。
5）取 ，其中 是 的对角元素。
例 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为
试用主成分分析法求因子分析模型。
特征根为：
可取前两个因子F1和F2为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，。第二公因子F2为投资因子，。共同度分别为1，，。
假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业
率 ，相关系数矩阵为
试用主因子分析法求因子分析模型。假定用
代替初始的 。
特征根为：
对应的非零特征向量为：
第三节 因子旋转（正交变换）
建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。有四种主要的正交旋转法、四次方最***、方差最***和等量最***。
（一）为什么要旋转因子
变换后因子的共同度
设正交矩阵，做正交变换
变换后因子的共同度没有发生变化！
（二）旋转方法
变换后因子贡献
设正交矩阵，做正交变换
变换后因子的贡献发生了变化！
1、方差最***
方差最***从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上又较高的载荷时，对因子的解释最简单。方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷尽量拉开距离，一部分的载荷趋于1，另一部分趋于0。
4、斜交旋转
斜交旋转的目的是使新的载荷系数尽可能的接近于0或尽可能的远离0；只是在旋转时，放弃了因子之间彼此独立的限制，旋转后的新公因子更容易解释。主要有以下的方法：
direct oblimin:直接斜交旋转。允许因子之间具有相关性；
promax:斜交旋转方法。允许因子之间具有相关性；
由于斜交旋转计算量大，通常使用并不多。
第四节 因子得分
（一）因子得分的概念
前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究，比如把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进行分类或评价，这就需要我们对公共因子进行测度，即给出公共因子的值。
因子分析的数学模型为：
原变量被表示为公共因子的线性组合，当载荷矩阵旋转之后，公共因子可以做出解释，通常的情况下，我们还想反过来把公共因子表示为原变量的线性组合。
因子得分函数：
可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系数，而由于p>m，所以不能得到精确的得分，只能通过估计。
1、回归方法
1) 思想
则，我们有如下的方程组：
j=1,2,…,m
注：共需要解m次才能解
出 所有的得分函数的系数。
矩阵表示方法
在因子模型中，假设 服从（m+p)元的正态分布，有
2）估计的有偏性
3）平均预报误差
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