文档介绍：平均变化率
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(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的
平均变化率
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(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
想一想
本题说明:△y与△t中仅比较一个量的变化是不行的.
问题情境1
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过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。
问题情境3
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o
x
y
容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.
如何量化陡峭程度呢？
该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度.
称该比值为曲线在B,C之间这一段平均变化率.
●B
●A
●C
交流与讨论
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平均变化率的定义：
一般地，函数 在区间 上的平均变化率为
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
建构数学理论
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.
（以直代曲思想）
（数形结合思想）
“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚
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平均变化率
一般的，函数 在区间上 的平均变化率为
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。
结论：
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例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均变化率.
数学应用
思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点？
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例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，]；
（4）[1，].
4
3
（5）[，1]；
（6）[，1]；
（7）[，1].
变题:
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？
数学应用
x
y
p
1
3
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高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用
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在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-++10
h
t
o
求ｔ＝2时的瞬时速度？
2
△ｔ＜0时
2＋△ｔ
△ｔ＞0时
2＋△ｔ
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△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时
间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
当△t = – ,
当△t = ,
当△t = – ,
当△t =,
当△t = –,
当△t =,
△t = – ,
△t = ,
△t = – ,
△t =,
……
……
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
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瞬时速度
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１、函数的平均变化率怎么表示？
思考：
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定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或 , 即
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导数的作用：
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率
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由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可