文档介绍：第4章 积分及其应用
重点：积分的计算
定积分的应用
难点：积分的计算
定积分的应用
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定积分
微积分的典型问题之二
把它们的面积加起来,得
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为部分分式
⑵ 消除a
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有理函数的积分举例
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八仙过海
例 ⑴
= ln|secx + tanx| + C
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第二类换元积分法
常用的换元法如下.
被积函数含有 换元方法
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三角换元法举例⑴
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三角换元法举例⑵
= ln|sect + tant| + C
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三角换元法举例⑶
= ln|sect + tant| + C
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第二类其它换元法举例⑴
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第二类其它换元法举例⑵
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万能公式
= ln(1 + t2) + C = ln[1 + tan2(x/2)] + C
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定积分的换元积分法
第一类换元积分法(凑微分法)
第二类换元积分法
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定积分的换元法举例
例 计算
解 ①令x = t2,则 dx = 2tdt,
= 2arctant|
3
2
= 2arctan3 2arctan2
②
= 2arctan3 2arctan2
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常量与变量问题
于是
两边对 x 求微商,得
令 x = 1,得
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对称区间[a, a]上的定积分
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对称区间上的定积分举例
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其他针对积分区间的换元法
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分部积分法
分部积分法与积的微分法相对应.
d(uv) = vdu + udv
udv = d(uv) vdu
“反对幂指三”法：
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“幂指三”分部积分法
= x2sinx + 2xcosx 2sinx + C
练****计算
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“反对幂”分部积分法
= (x + 1)ln(x + 1) x + C
= (x + 1)ln(x + 1) x + C
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循环法
例 计算
sec3xdx
解
sec3xdx = secx · sec2xdx = secxdtanx
= secxtanx tanxdsecx
= secxtanx tan2xsecxdx
= secxtanx (sec2x 1)secxdx
= secxtanx sec3xdx + secxdx
= secxtanx sec3xdx + ln|secx + tanx| + C
sec3xdx =
[secxtanx + ln|secx + tanx|] + C
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递推公式法
例 计算 In =
sinnxdx
解 In =
sinn 1xdcosx
= [ cosxsinn 1x]
cosxdsinn 1x
+
= (n 1)
sinn 2xcos2xdx
= (n 1)
sinn 2x (1 sin2x)dx
= (n 1) In 2 (n 1)In
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定积分的应用
反常积分
为
b
这就是所求“无穷曲边梯形”的面积.
把这极限理
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反常积分
一般通过直接计算,判定反常积分的敛散性.
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反常积分的计算方法
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伽玛函数
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概率密度函数
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面积、体积、弧长的计算
定积分的微元法
则
从而
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平面图形的面积
平面图形区域的分类
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直角坐标下的面积公式
微元法
微元法
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x 型区域举例
例 计算椭圆
= 1的面积.
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y 型区域举例
解 抛物线 与直线的交点为
(2, 2), (8, 4).
S = (y + 4 y2/2)dy = 18
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极坐标下的面积公式
O
x
微元法
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双纽线
在1周内取 k = 0, 1 得,
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旋转体的体积
微元法
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圆锥体的体积
例 求高为h, 底半径为 r 的正圆锥体的体积.
解 建立坐标系如图所示,
x
y
O
h
P(h, r)
直线OP的方程为 y = x
r
h
所求体积可看成直线OP与 x = h, y = 0所围图形绕 x 轴旋转而成.
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平面曲线的弧长