文档介绍：第一讲多项式理论
多项式理论是高等代数的重要内容之一,虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分,但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重要定理和方法,在进一步学****数学理论和解决实际问题时常要用到,是代数学中最基本的研究对象之一。因此,在学****这部分内容时,要正确地掌握概念,学会严谨地推导和计算。
知识脉络图解
重因式
一元多项式概念
最大公因式
多项式的相等及运算
带余除法
综合除法
余数定理
多项式恒等及多项式函数的运算
整除性
因式分解
方程的根
不可约多项式
因式分解唯一性定理
数域
多项式函数
多元多项式概念
多元多项式函数
对称多项式
对称多项式基本性质
复数域上的因式分解
实数域上的因式分解
有理多项式不可约判定
本原多项式求有理根
实多项式根的性质
代数学基本定理
根与系数的关系
重点、难点解读
这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述,内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分,以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面:
(1)一般理论:包括一元多项式的概念、运算、多项式相等、导数等基本性质。
(2)整除理论:包括带余除法、整除、最大公因式、互素的概念与性质。
(3)因式分解理论:包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等。
(4)根的理论:包括多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。
一元多项式的内容十分丰富,重点是整除与因式分解的理论,最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学****的过程中,如能把握这两个重点和三大基本定理,就能够整体把握一元多项式的理论。
对于多元多项式,则要理解元多项式、对称多项式等有关概念,掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。
一、数域的判定
设P是至少含有两个数(或包含0与1)的数集,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍是P中的数,则称P为一个数域。
1、数域的概念
2、数域的有关结论
(1)所有的数域都包含有理数域,即有理数域是最小的数域。
(2)在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域;在实数域与复数域之间不存在其他的数域。
例1、设P是一个数集,有非零数,且P关于减法、除法(除数不为零)封闭,证明P是一个数域。
证因为,所以
有
即P对加法封闭。
若中有一个为零,则
若,则
从而P对乘法封闭。
综上所述,P关于加法、减法、乘法、除法都封闭,所以P是一个数域。
例2、证明:实数域与复数域之间不存在其他的数域。
证设P是任意一个包含R且不同于R的数域,且P还包含至少一个复数。
由于P是一个数域,所以
但
从而对任意实数都有,
即P包含了全体复数。
故P=C。
二、一元多项式的概念
1、一元多项式的概念
形式表达式
称为数域P上文字的一元多项式,其中
是非负整数。当时,称多项式的次数为
记为
2、多项式的相等关系
设
则
3、次数公式
(1)
(2)
4、一元多项式环
所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环,记为,称P为的系数域。
5、一元多项式环的有关结论
多项式的加、减、乘运算对封闭,且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律,乘法对加法满足分配率,乘法还满足消去律。
6、注意零多项式和另次多项式的区别。
例1、令
求的奇次项系数之和。
解法1 由于
两式相乘得
由于与无奇次项,从而不可能有奇次项,故其奇次项系数之和等于零。
法2 因为,所以是偶函数,于是的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等于零。
例2、设为一多项式,若
则或
证若,则证毕。若,由于
所以只能是零次多项式。
令,又因为
所以,此即