文档介绍：利用函数性质判定方程解的存在
1. 了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系.(易混点)
2. 掌握函数零点存在的判定方法.(重点)
3. 能结合图像求解零点问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理函数零点及判定定理
阅读教材P116~P117整节的内容,完成下列问题.
函数的零点及判定定理
(1)函数的零点:
①定义:函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系.
(2)函数零点的判定定理:
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
1. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)零点即函数y=f(x)的图像与x轴的交点.( )
(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)有两个零点.( )
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.( )
【答案】(1)× (2)√(3)×
2. 函数y=x-的零点是________.
【解析】令y=x-==0,解得x=±1.
【答案】±1
[小组合作型]
求函数的零点
求下列函数的零点:
(1)y=-x2-x+20;
(2)f(x)=x4-1.
【精彩点拨】先因式分解,再确定函数的零点.
【尝试解答】(1)y=-x2-x+20
=-(x2+x-20)=-(x+5)(x-4),
方程-x2-x+20=0的两根为-5,4.
故函数的零点是-5,4.
(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),
∴方程x4-1=0的实数根是-1,1.
故函数的零点是-1,1.
求函数的零点常用方法是解方程: (1)一元二次方程可用求根公式求解;
(2)高次方程可用因式分解法求根.
[再练一题]
1. 判断下列说法是否正确:
(1)函数f(x)=x2-2x的零点为(0,0),(0,2);
(2)函数f(x)=x-1(2≤x≤5)的零点为x=1.
【解】(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值,所以函数f(x)=x2-2x的零点为0和2,故(1)错.
(2)虽然f(1)=0,但1∉[2,5],即1不在函数f(x)=x-1的定义域内,所以函数在定义域[2,5]内无零点,故(2)错.
判断零点所在的区间
(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
-7
6
-4
-5
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
(2)函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
(3,4) D.(e,+∞)
【精彩点拨】在区间(a,b)上检验f(a),f(b)是否满足函数零点存在性定理.
【解析】(1)由已知数表可知f(2)·f(3)=10×(-7)<0,
f(3)·f(4)=(-