文档介绍：第四章****题参考解答
,如果对于上的任意可测子集,有,试证:,
证明:因为,而,
.由已知,
.
又因为,
所以,.
故,,从而
.即,
,.
,都是上的非负可测函数,并且对任意常数,都有
,试证:,从而,
.
证明:我们证,是同一个简单函数序列的极限函数.
及,令,并且
.则是互不相交的可测集,并且,定义简单函数
.
下面证明:,.
,若,则,,所以,即;若,则可取正整数,时,
.故,存在,
.即,,.
所以,,从而,
.
同理,,定义简单函数列,其中:,..同上一样可证明:,.
因为,,
.从而,,有
.即,,
.因此.
,计算.
解:设为有理数,,则
.
,若内每一点至少属于个集中的个集,证明:中至少有一个测度不小于.
证:令,其中为上的特征函数,有
,所以.
.
如果每个,,
使得.
,都是上的可积函数,试证明:也是上可积函数.
证明:(1)先证:设与都是上的可测函数且,若在可积,则在可积.
事实上,,因为,故,即
,其中:,
.从而是单调递增有上界的数列,故:
.
又因为单调递增有上界,所以存在,并且
,即
.所以在可积.
(2)再证:在上可积.
事实上,因为,在上可积,所以与在上可积,从而+在上可积.
又因为,由(1)。在上可积.
,是上的非负可测函数,,
,试证明:.
证明:,因为,所以
,故.
又因为,由积分的绝对连续性(即,P103,定理4).
,,使得对于任何可测集,,恒有
.
对于,由,得,存在,时,,有
,从而.
,且,为上的非负可测函数,,试证: 在上可积当且仅当级数收敛.
证:设,,因为在可积,故
.即,级数收敛.
,因为,
,又
,所以
.
从而,在上可积.
,证明:.
证明:(1)先证:,存在时直线上的连续函数,使得
.对于,记:
.
则:. 则
+ =
.
因为在是可积的,故,,使,
时,恒有,又因为是单调的集列,并且
.从而,
.
所以,对于,,使得.
对于,取,由连续扩张定理(第10页,定理3),存在闭集及上的连续函数,使得
(i)
(ii)
(iii) 则
,从而
.
(2)再证:
,由(1)知,存在上的连续函数使得,因为在上一致连续,所以使得,时,恒有,+
+.
因为时,,有,故
.所以
.
故.
,是任意常数,满足,试证:存在,使得.
证明:设常数,合于,当时,存在,使得
,不妨设.
先证:在上连续,,,因为
,由积分的绝对连续性(P85,定理4),,,,有.
故,,因,,故
.
所以,.
同理,对于,,在
上连续.
又因为(根据P89的定义4).所以,使得
.故,由在闭区间上的介值定理(连续函数的介值定理),,使得,有
.
,是大于1的数,2是的共轭输,,都有,试证.
11,试证:(i).
(ii) .
证明:(i)时,(寻找控制函数)
当时:;
当时:
.
令,从而,,且在是可积的,故在是可积的.
,
.
(ii),定义,并且,
.,有.
下面证明:,.
事实上,,令,,取,则
.又记,又因
.所以,
关于单调递减,,有
,,从而,
.
,
,..
因为在上可积,由控制收敛定理,
.
,试证明:在上当且仅当.
证明:,,(在上),所以, .故在
上,
.
又因为,,且,由有界收敛定理,有
.
对于,因
.
故,..
§ 积分极限定理
(非负可测函数序列的积分与极限可交换性)
.
定理4(定理的绝对连续性定理)若在上可积,则,,:
,有.
证明:因为可积,所以可积(只需证:,)
,.,
.,使
.
`要找,使,,有