文档介绍：第七章正则方程
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§ 正则方程
本章在相空间中研究力学系统的运动,导出另一种形式的动力学方程,即正则方程。---------这种方法称为哈密顿方法（或称哈密顿第七章正则方程
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§ 正则方程
本章在相空间中研究力学系统的运动,导出另一种形式的动力学方程,即正则方程。---------这种方法称为哈密顿方法（或称哈密顿表述）.
------------这是个二阶微分方程组,现想将其变换成一阶
微分方程组,以得到一种新的形式对称的运动方程组.
第六章是在位形空间中,通过完整有势系的拉格朗日
方程来研究力学系统的运动.
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一. 勒让德变换
在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变量的变换, 叫勒襄特变换.
设函数 ,
令:
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------------这是新变量与新函数应满足的方程。
以上所述把 称为勒让德变换,
这种变换不仅应用在力学中，还用在热力学系统中，
从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数。
二. 正则方程
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对于哈密顿量：
——-哈密顿正则方程,它是一阶微分方程,且形式对称.
由于 相互独立的, 所以
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说明如果L不显含时间, H也不显含时间.
思考:正则方程是否适用任何系统?
正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系.
结合初始条件,得到描述力学
系统运动状态的运动方程:
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[例] 一质量为m的自由质点,受力 为位矢,
,写出在直角坐标系中
质点的运动微分方程。
解: 取x，y，z为广义坐标。动能为
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代入哈密顿函数的定义式中,得
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将H代入正则方程中,得到质点的动力学方程:
得到质点的运动微分方程
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应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结:
检验系统是否是完整的有势系,然后确定自由度,选择
适当的广义坐标.
2)写出系统相对惯性系的动能和势能,得到
并求出广义动量 ,由此反解出
3)通过 ,并利用
得到
4)将H 代入正则方程中,得出系统的运动方程.
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哈密顿动力学与拉格朗日动力学比较：在拉格朗日动力学中, 从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即拉格朗日方程. 而在哈密顿动力学中, 必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数, 才可写出动力学方程即哈密顿正则方程, 所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便。
哈密顿动力学的优点：1），哈密顿函数作为算符可确定微观粒子的运动规律；2）在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采用的变量广义坐标和广义速度并不对等, 只能对广义坐标进行变换, 而广义速度也随之而变. 哈密顿动力学采用的变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进行变换,而且可以坐标和动量一起变换, 这个在正则变换时可知其优点.
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三. 哈密顿函数的意义
哈密顿函数是系统的特征函数,因它隐含着系统的约束
关系、系统的受力情况以及系统的结构情况等信息。
哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴，还应用于其它
物理学领域，如量子力学中，热力学等。
四. 正则变量、相空间、正则方程的意义
2s个广义坐标 和广义动量 ，
统称为正则变量。
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由2s个