文档介绍：第三节正定二次型
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前面配方法的过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。
其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1, d2, …, dn, n个实数
进一步第三节正定二次型
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前面配方法的过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。
其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1, d2, …, dn, n个实数
进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：
该式称为二次型的规范形。
r是矩阵A的秩，即二次型的秩。
注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di>0的个数相同。
同样，规范型中“-”号的个数与标准型中di<0的个数相同。
定义：二次型的规范形中正项的个数称为二次型的正惯性系数，负项的个数称为二次型的负惯性系数
一、惯性定理
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证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。
现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。
假设二次型可以化成两个规范形
(1)
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(2)
由(1) (2) 我们有：
如果我们证明p=q，那么二次型的正惯性系数是唯一的。
(4)
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反证法，假设q不等于p，不妨假设p>q
如果找到不全为零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立
问题： y1,y2,…,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于等于0？
(4)
方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+q<n个。因此有非零解。即存在不全为零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于p>q造成的。同样，p<q亦会产生类似的矛盾。
由此得到p=q.
惯性定理成立。
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一个实二次型，既可以通过拉格朗日配方法化为标准形，也可以通过初等变换法化为标准形。显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
进而将标准形化为规范形，其规范形是唯一的。
项数为二次型的秩；其中系数为+1的项的项数为正惯性系数；其中系数为-1的项的项数为负惯性系数。
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为三元二次型，则它为正定二次型
为二元二次型，则它为负定二次型
二、正(负)定二次型的概念
例如
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证明
充分性
故
三、正(负)定二次型的判别
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必要性（反证法）
故
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推论1. 实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n
推论2. 实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位矩阵合同
推论4. 正定矩阵的行列式大于零
证明：设A为正定矩阵，则CTAC = E, 两端求行列式得：
推论3. 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的特征值
全为正
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这个定理称为霍尔维茨定理．
定理2 对称矩阵为正定的充分必要条件是：
的各阶顺序主子式为正，即
对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主
子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即
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正定矩阵具有以下一些简单性质
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例1 判别二次型
是否正定.
解
它的顺序主子式
故上述二次型是正定的.
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例2 判别二次型
是否正定.
解
二次型的矩阵为
用特征值判别法.
故此二次型为正定二次型.
即知是正定矩阵，
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例3 判别二次型
的正定性.
解
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二次型正定性的判断方法
一般的二次型的判断都可以利用它的标准型或者规范形完成。
设二次型的标准型为：
如果di>(<)0(i=1,2,…,n), 那