文档介绍:第三节正定二次型和正定矩阵
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一、正定二次型正定矩阵
定义
由定义,可得以下结论:
充分性是显然的;下面用反证法证必要性:
代入二次型,得
第2页,共第三节正定二次型和正定矩阵
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一、正定二次型正定矩阵
定义
由定义,可得以下结论:
充分性是显然的;下面用反证法证必要性:
代入二次型,得
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由上述两个结论可知,研究二次型的正定性,只要通过非退化线性变换,将其化为标准形,就容易由以下定理判别其正定性。
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定理
推论
实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值
全为正。
☎
正定矩阵。
这是因为:
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解
例1 判别二次型
是否正定。
二次型对应的矩阵为
,
)
1
4
)(
2
(
2
+
-
-
=
l
l
l
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全为正,
因此二次型正定。
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定理
设矩阵A正定,则
(1)A的主对角元全为正;
证明
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上述定理是A正定的必要条件,但不是充分条件。
定理
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解
例2 判别二次型
是否正定。
二次型对应的矩阵为
它的顺序主子式为:
因此 A是正定的,
即二次型 f 正定。
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解
例3 设有实二次型
问 t 取何值时,该二次型为正定二次型?
f 的矩阵为
顺序主子式为:
解得
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☎
实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C,使得
实际上,正定二次型的规范形为
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ,
即存在可逆矩阵C ,使
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☎
证
因为
于是
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2、其它有定二次型
定义
如果二次型不是有定的,就称为不定二次型。
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显然,A是负定(半负定 )的当且仅当-A是正定(半正定)的。由此,容易得出以下结论:
(2)A负定的充分必要条件是A的特征值全负;
(3)A半负定的充分必要条件是A的特征值非正;
(4)A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正;
(1)A半正定的充分必要条件是A的特征值非负;
(5)若A负定,则A的对角元全为负。
注意: 。
, A也未必是半正定的。
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例如,设矩阵
显然A的顺序主子式
但对角元有正有负,显然A是不定的。
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例5
判定下列二次型是否是有定二次型。
解
(1)f 的矩阵为
顺序主子式
所以 f 是负定的。
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例5
判定下列二次型是否是有定二次型。
解
(2)f 的矩阵为
顺序主子式
所以 f 是不定的。
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练习:
P222 习题五
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END
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选用例题
1、
解
C是正定的。
且C是实对称阵,故C是正定矩阵。
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证
必要性
充分性:
将上述过程逆推,即可得证.
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