文档介绍：衍生品定价
南开大学数学科学学院
白晓棠
Nankai University
Contents
衍生品定价的方法
1
博弈论方法
2
资产组合复制法
3
二叉树模型
4
Nankai University
衍生品定价的方法
前面我们讨论了期权价格的上下限以及看涨看跌期权的平价公式(欧式)。
一份期权的公平的确切的价格应该为多少呢?
例:(看涨期权的公平价格)有一只股票现价为$100。在一年以后,股价可以是$90或$120。概率并未给定。即期利率是5%。一年后到期的执行价格为$105的股票期权的公平价格是多少?
下面我们将用两种方法来回答这个问题,这两个方法是:博弈论方法、资产组合定价法。
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博弈论方法
在下面的三种方法中我们都假设股票在到期日的价格只能是两种特定价格中的一个。将现在视为0时刻,到期日视为1时刻,本例中假设1时刻股价为$120或$90.
V=期权的价格;S=股票的价格。
构造资产组合Π:a股股票的期权和b股股票则:
Π0=aV+bS
上升状态: Π1=(120-105)a+120b
下降状态: Π1=a×0+90b
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博弈论方法
选择a和b,使得并不取决于股票涨跌结果。这样,我们就有:
(120-105)a+120b=a×0+90b
从上式可得15a=-30b,我们可以作出a=-2,b=1的投资选择,此时有
Π0=-2V+1×100
Π1=- 2×15+1×120=90
= Π1,故100-2V=90/,即V=.
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博弈论方法
假设交易商愿意以$(或购买)期权。博弈论定价方法告诉我们期权价格被高估了。
我们的策略:买入1股股票,卖出2股期权
该头寸的成本为
100-×2=
我们借入$,一年后冲销该头寸得$90,故我们得到利润为:
90-×=90-=
Q:交易商以$7的价格出售(或购买)期权,交易策略?
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博弈论方法
假设在时刻t股票处于上涨的状态时价格为Su,那么衍生品价格为U;股票处于下跌的状态时价格为Sd,那么衍生品价格为D。
Su U
S0 V0
Sd D
我们通过买1股股票衍生品和卖出a股股票构造资产组合。故资产组合的初始价值是:
Π0=V0-aS
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博弈论方法
选择a的值使得资产组合的价值与股票的最终状态无关,于是
上升时:Πu=U-aSu
下降时:Πd=D-aSd
令Πu=Πd得:U-aSu=D-aSd
故
而Π0=V0-aS0, Π1=U-aSu
于是V0=aS0+(U-aSu)e-rt
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资产组合复制
假设股票在0时刻为S0,该股票在t时刻有两种可能价格:
Su U
S0 V0
Sd D
构造资产组合Π:a单位的股票和b单位的债券,来复制期权,由于
上升状态:Πu=aSu+bert=U
下降状态:Πu=aSd+bert=D
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资产组合复制
于是有:
于是衍生品的定价公式为:
即