文档介绍：量纲分析法来构造模型
一、基本概念：
在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性， 因此，许多物理量都是有量纲的，例如：
质量的量纲是：克（g）；千克（kg）
速度的量纲是：厘米/秒；公里/时
热量的由变量并令以4=1）
将（5）代入（2）得到模型为：
13t -2 m-1k-1 —兀 （6）
即：12笠13，即开普勒第三定律，而历史上由开普勒第三定律的观测数据出发，推出
万有引力定律。
说明：（6）式中比例系数中仍有质量m，并没有推出开普勒第三定律中比例系数是绝
对常数的结论：即：T 2 — kl 3,但已得到比例关系：12此13
三、丸定理
由例2可知利用量纲分析把4个有量纲的量表示为1个无量纲的量，得出量纲分析法 的一般步骤：先给出两个定理。
Th1：（丸定理）设有n个物理量气，％,…,%之间存在一个函数关系（与量纲单位选
取无关的物理定律）
中（气，x2,…,x ） — 0 （1）
其中：x , x ,…,x （m < n）是有基本量纲的物理量，x , % ,…，%可由这些基
1 2 m m+1 m+2 n
本量纲表示，则（1）式可以表示为n — m个无量纲量：气，兀2,…，七m的关系，
平（兀「兀2, •••, kn 皿）—0
（因为由量纲的齐次原则,物理量气，x2,…，xm （m < n）可以用n — m线性无关的向量
表示出来)。
Th2： (Thl的推广)
设有
中(x1, x2,…,x ) = 0 (1)
其中有m是有基本量纲[气],[x2],…，[xm]，且Xj (i = 1,2,…n)的量纲可表示为：
[x.]=F![x.]6j (i = 1,2, — , n)
j=i
若矩阵 B = (P..) ^的秩为r ( Rank(B) = r)，则(1)可表示为：
w(兀「兀2, ...,兀〃 r)= 0
其中兀、(s=1，2,..., n-r)是无量纲量，且可表示为:
兀=Hxg⑴ (s = 1, 2, ..., n - r)(即为模型)
i=1
伊(s))
以'(s)
七(s)是方程组BTa = 0的基本解：% (s) = 2
Remark : Th1, Th2统称丸定理，按照丸定理，量纲分析方法的一般步骤：
四、量纲分析法建立数学模型的基本步骤：
将与问题有关的有量纲的物理量(变量和常数)记做气，X2,…，xn，按照物理定 义确定此问题的基本量纲并记成
[%], [XJ,…，[X」
将所有物理量用基本量纲表示，即令：
"=兀 (1)
i i=1
%待定，丸为无量纲量，：
[x.] = FI[ (i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m) (2)
j=1
(利用已有的物理知识确定)
即:
（2）得到
（1）式的量纲表达式
n (回[x〜)(.=[兀]
i=1 j=1
[ x 矛，=0
j
j=1
(3)
:
8。(=0 (j = 1；2；...； m) ij i i=1
|3 a + 0 a + * * * + 0 a
1 21 2 n1 n
0 a +0 a + …+ 0 a
1 22 2 n2 n
(4)
(，n
若方程组（4）：
B4
n - r解为:
P ( +P 以 P 以
1m 1 2 m 2 nm
则有向量a=:
|：2 s)]
(X (s)=
=0
=0
有n - r个基本解
s = 1； 2；…，n一r
则得到X ； x ；…；x之间n — r个关系式:
1 2 n
(s = 1, 2；・ n- r
(5)
g( s)=兀
i
i=1
其中兀s为无量纲量。
W （丸1；丸2；…；兀s） = 0
举例说明上述步骤: 例3不可压缩粘性流体在管道内的稳定流动模型。
解：已知此问题涉及的物理量有：
管长：I 流速：V , 流体密度：P
管道两端压强：p，流体粘性系数R，重力加速度g。
基本量纲仍为[L], [M], [T]，求各物理量之间的关系式。
解：①确定基本量纲
将各物理量用基本量纲表示出来；
[l ] = [ L]
[V ]=[LT-1]
流体密度：[P ]= ML-3 ]
重力加速度：[g] = [LT-2]
压强： [p] = [ ML-1T -2]
粘性系数： 币]=[ML-1T-1]
并设： l a1V «2 p«3 p«4 ^«5 g «6 =兀 （*）
由量纲一致的原则，将上式求上式的量纲表达式。
[L]% [ LT-1 住[ML-3]