文档介绍：反函数概念释疑
由反函数的定义与性质可得出两个正确的命题:①函数的定义域、值域分别是它的反函数的值域、定义域;②函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称。
但在同学们学****反函数时,还会有很多疑问,现列举如下:
①若函数有反函数,则它一定是单调函数吗?
答:不一定。如不是单调函数,但它有反函数,但单调函数必有反函数。
②奇函数若有反函数,则它的反函数仍然是奇函数吗?
答:对。不是所有的奇函数都有反函数,周期函数不存在反函数。
③偶函数一定没有反函数吗?
答:不一定。如函数是偶函数,但它有反函数是本身,除此之外再也没有偶函数存在反函数的。定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。
④互为反函数的两个函数的单调性相同吗?
答:对。
⑤函数与它的反函数的图象如果有交点,则交点一定在直线上吗?
答:不一定。如函数与它的反函数交于三点(0,0),(-1,1),(1,-1),与它的反函数有三个交点其中一个在上另两个关于对称。函数与它的反函数的交点有这样的规律,要不在直线上,要不关于直线对称。
⑥函数与它的反函数的图象不可能重合吗?
答:不一定。如函数与函数的反函数是它本身,图象重合。图象关于直线对称的单调函数的反函是它本身。
⑦函数的反函数,则必有吗?
答:不一定。只有当它们的定义域和值域相等时候才成立。设函数,它的反函数是,则有:,。
⑧符号是表示的反函数,还是的反函数当等于时的函数值呢?
答:表示后者。
利用反函数与原函数的关系简洁解高考试题
王远征
考点聚焦
作为函数的内容之一的反函数是历年高考的命题的一个热点。解题时,正确地把握反函数与原函数的内在联系,可以帮助我们简洁迅速地完成问题的解答。
设原函数的定义域为,其值域为,函数的反函数记为:,互为反函数的两个函数有如下性质:
性质1: 若,,则。反函数的定义域为,其值域为;
性质2:互为反函数的两个函数在其定义域内,具有相同的单调性;
性质3:若函数是奇函数(),且存在反函数,则也是奇函数。若函数是偶函数(),则它一般不存在反函数;
性质4:反函数的图象与原函数的图象,关于直线对称;
试题展示
例1.(05年湖南卷14)设函数的图象关于点对称,且存在反函数,
,则= 。
分析与解答:求,即当函数值为4时,=4,求对应的自变量的值。
由知:点在函数的图象上,点关于点对称的坐标是,所以根据性质1知:=
例2.(05年天津卷9)设是函数,的反函数,则使成立的的取值范围为( )
A,;B,();C,(,);D,[,);
分析与解答:因为,所以函数是增函数,根据性质2知反函数也是增函数。
由,根据性质1知:当原函数在时,求的取值范围即可。
,选A。
评注:直接利用互为反函数的两个函数的性质,可以省略求反函数的步骤,大大简化计算过程。
例3.(1992年全国卷)函数的反函数( )
A,是奇函数,它在上是减函数;
B,是偶函数,它在上是减函数;
C,是奇函数,它在上是增函数;
D,是偶函数,它在上是增函数;
分析与解答:因为互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇偶性,故只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。
所以,是奇函数,那么,它的反函数也是奇函数。
在上是增函数,所以它的反函数也是增函数。选C。
例4.(04年全国卷)已知函数是奇函数,当时,,设的反函数是,则=
分析与解答1:当时,则,,因为函数是奇函数于是:,,
由性质1知=,解答:,所以
分析与解答2:因为函数是奇函数,所以反函数也是奇函数, ,
由性质1知=,解答:,所以,于是。
评注:直接利用互为反函数的两个函数的性质1,解答时不必求反函数,这样可以使计算过程简化。
例5.(1994年全国卷)函数,,则的图象是图中的( )
A B C D
分析与解答:利用性质4,反函数与原函数的图象关于直线对称,而的图象如图A所示,故反函数的图象是B。
考题训练:
(04年湖南卷--3)设是函数的反函数,若,则的值是( )
A,1;B,2;C,3;D,;
答案:B
因为
=
(1999年全国卷)若函数的反函数是,,则等于( )
A,;B,;C,;D,;
答案:A。
(1997年全国卷)将的图象( )
A,先向左平移1个单位;
B,先向右平移1个单位;
C,先向上平移1个单位;
D,先向下平移1个单位;
再作关于直线对称的图象,可得函数的图象。
答案:函数的图象关于直线对称,则它的反函数是,它是将的图象向下平移1个单位得到的。选D。
已知函数的反函数为:,其中,则方程的解集是( )
A,;B,;C,;D,;
答案:利用性质1,即求,选C。
已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,那么,的值是( )