文档介绍：张量分析
1张量代数
在三维空间中,一个笛卡尔坐标系用图表示为三个相互垂直的轴,分别记为x轴、y轴、z轴。为以后方便起见,坐标轴可更方便地表示成x1 轴、x2 轴、x3 轴,而不是更熟悉的记法x轴、y轴、z轴。,x2 轴、x3 轴位于图纸平面内,x1 轴垂直指向读者。
在这种记法中,坐标轴分别平行于(右手)指向观察者的中指、指向右边的大拇指和垂直向上的食指。坐标的正向为手指的指向,如果我们想像一个右手方向旋转的螺杆,由x1 轴向x2 轴旋转会导致螺杆沿着x3 轴的正向前进。同样可以轮流采用标记1、2和3来检验螺杆沿正方向前进的情况。正因为如此,。不是右手坐标系的叫左手坐标系。如用左手, 轴正向朝下。注意任何两个具有相同原点的右手坐标系,都可以将一个坐标系转到另一个坐标系上,使之重合。这也适用于左手坐标系,。
矢量既有大小又有方向,这与标量不同,标量只有大小。例如,速度是矢量,温度是标量。在坐标系中矢量通常用箭头表示,箭头的方向为矢量的方向,箭头的长度与矢量的大小成比例。
、e2 和e3 。例如,单位矢量e1 为单位长度(从原点量起)并沿x1 轴,因而必须垂直另外两个坐标轴x2 和x3 。
对空间中任意一点P,坐标是v1 、v2和v3,可以表示为矢量OP或V。这个矢量V可以想像为矢量V1 、V2和V3的组合,故有
V=V1 +V2+ V3 ()
或根据单位矢量得
V=v1 e1 +v2e2 +v3e3 ()
其中,v1 、v2和v3为标量值。进一步简化,上式课简写为
V=(v1 ,v2,v3) ()
显然这个形式中3个标量的排序时至关重要的。可以看出矢量V的标记形式上采用了P点的笛卡尔坐标表示。
通常认为,V1 、V2和V3作为 V的分量,或反过来,将矢量V分解成分量。矢量作用的特定点常常可以从上下文中得知,不需要特别指明,。
若两个矢量V和U的分量相等,则定义他们相等,相等的条件为
v1 =u1 ,v2 =u2 ,v3 =u3 ()
或紧凑地表示为
vi =ui ,i=1,2,3 ()
通常,跟简洁地将相等表示为
vi =ui ()
由于下标i没有特别指明,可以认为它代表了三种可能下标中任一个。
如果矢量V乘以一个正的标量а,则结果аV定义为一个新的矢量,方向与V同向,大小为V的а倍。如果а为负值,则负号表示相反的方向。
由平行四边形法则得到两个矢量U与V之和的定义,。显然,矢量的加减可以定义为其分量的加减。
W=U-+V
=(u1 -+v1)e1 +(u2 -+v2)e2 +(u3-+v3)e3
()
根据这些分量,有
(w1 ,w2 ,w3 )=(u1 -+v1,u2 -+v2,u3-+v3) ()
或采用
wi =ui -+vi ()
标量:只有大小,没有方向