文档介绍：第六讲数项级数的敛散性判别法
§1 柯西判别法及其推广
比较原理适用于正项级数,高等数学中讲过正项级数的比较原理:
比较原理:设,都是正项级数,存在,使
(i) 若收敛,则也收敛;(ii) 若发散,则也发散.
比较原理(极限形式)设,均为正项级数,若
则、同敛散.
根据比较原理,可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它
.
定理1(柯西判别法1)设为正项级数,
(i)若从某一项起(即存在,当时)有(为常数),
则收敛;
(ii)若从某项起,,则发散.
证(i)若当时,有,即,而级数收敛,
根据比较原理知级数也收敛.
(ii)若从某项起,,则,故,由级数收敛的必要条件知
.
定理2(柯西判别法2) 设为正项级数,,则:(i)当时,收敛;(ii) 当(或)时,发散;(iii)当时,法则失效.
例1 判别下列正项级数的敛散性
;
(为任何实数,).
解(1) 因为,所以原级数收敛.
(2) 因为,所以原级数发散.
(3) 对任意,.当时收敛;当时发散;当时,此时级数是级数,要对进行讨论,当,即时收敛;当时,即时发散.
例2 判别级数的敛散性.
解由于
不存在,
由定理1(柯西判别法1)知原级数收敛.
例3(98考研)设正项数列单调减少,且发散,试问级数
是否收敛?并说明理由.
解答案:级数收敛,证明如下:
,这与发散矛盾,,故取,
根据柯西判别法1知收敛.
下面介绍柯西判别法的两个推广,称它们为广义柯西判别法.
定理3(广义柯西判别法1) 设为正项级数,如果它的通项的
次根的极限等于,,级数收敛;当时,级数发散;当级数可能收敛也可能发散.
证因为,即对任给正数,存在正整数,当时,有(1)
对于任给常数,总存在,当有时有
(2)
取,当时,式(1)和式(2)同时成立.
当时,取足够小,,存在,当时,式(1)和式(2)同时成立,那么有,正项级数收敛(因为其为等比级数且公比),由比较审敛法知,级数收敛.
当时,取足够小,使,由上面的讨论,存在,当时,式
(1)和式(2)同时成立,则,正项级数发散,由比较审敛法知,级数发散.
当时,取,那么,对任何为常数,,.
例4 判别级数的收敛性.
解因为由广义柯西判别法1知,级数
收敛.
注例4也可用柯西判别法2(定理2),但比较麻烦,而用广义柯西判别法1要简单得多.
定理4(广义柯西判别法2) 设为正项级数,如果它的一般项的(是大于1的正整数)次根的极限等于,,级数收敛;当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.
证因为,即对任给的正数,存在正整数,当时有
当时,取足够小,,存在,当时,
,又正项级数收敛(因),由比较审敛法知收敛,所以收敛.
当时,取足够小,,存在,当时,有,那么,所以级数发散.
当时,同样取,那么
这说明时,.
注广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1].事实上,在广义柯西判别法1中,取,在广义柯西判别法2中,取便得定理2(柯西判别法2).
例5 判断级数的收敛性.
解因为,由广义柯西判别法2知原级数收敛.
定理5(广义柯西判别法3) 设,若
,.则当时,级数收敛;当时,级数发散[2].
为证明定理5,需要一些预备知识:
Stolz定理设、为两个数列,数列在某顶之后单调递增,且
,若,(或),则(或).
命题1 ,则。
证令,,由Stolz定理,
命题证毕.
命题2设,.,则.
证由,考虑数列,
由命题1知
根据指数函数的连续性便得
或时,结论仍成立,这里证明略去.
命题3 设,,则.
证令,,由命题2
命题证毕.
证明定理5 由命题3知,
再用柯西判敛法(定理2) .
显然,定理2(柯西判敛法2)是广义柯西判别法3当时的特例.
例6 判定级数的敛散性.
解设,则
由于,根据广义柯西判别法3知,级数收敛.
例7 判定的敛散性.
解设,则
,
所以,当时,,由于
,
由级数收敛的必要条件知,当时级数发散.
§2