文档介绍：单自由度体系自由振动
)
(
m
k
=
w
0
2
y
y
=
+
Þ
w
&
&
)
(
0
a
ky
y
m
=
+
L
L
&
&
)
sin(
)
(
a
w
+
=
t
a
t
y
sin
cos
)
(
0
0
w
w
w
+
=
t
v
t
y
t
y
)
0
(
0
2
0
=
Þ
=
y
C
y
y
cos
sin
)
(
2
1
w
w
+
=
t
C
t
C
t
y
)
0
(
0
1
0
w
=
Þ
=
v
C
v
y
&
y(t)
t
y0
-y0
y(t )
t
v0/ω
-v0/ω
T
t
a
-a
T
α/ω
周期-
工程频率-
园频率-
计算频率和周期的几种形式
频率和周期的讨论
,与外界干扰无关;
,与k成反比,据此可改变周期;
。
四、简谐自由振动的特性
由式
可得,加速度为:
在无阻尼自由振动中,位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化,且作相位相同的同步运动,即它们在同一时刻均达极值,而且惯性力的方向与位移的方向一致。
它们的幅值产生于
时,其值分别为:
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态,在幅值出现时间也一样,于是可在幅值处建立运动方程,此时方程中将不含时间t,结果把微分方程转化为代数方程了,使计算得以简化。
惯性力为:
例5. 计算图示体系的自振频率。
A
B
C
D
EI=
l /2
l /2
l
k
B
C
k
.
.
A1
.
.
A2
解:单自由度体系,
以表示位移参数的幅值,
各质点上所受的力为:
建立力矩平衡方程
化简后得
例6、求图示结构的自振频率。
l
EI
m
k
1
k11
k11
k
解:求 k
对于静定结构一般计算柔度系数方便。
如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时,所有刚节点
都不能发生转动(如横梁刚度为∞的刚架)计算刚度系数方便。
一端铰结的杆的侧移刚度为:
两端刚结的杆的侧移刚度为:
m
§10-3 单自由度体系的受迫振动
受迫振动(强迫振动):结构在动力荷载作用下的振动。
k
y(t)
y
m
ky
P(t )
m
P(t )
P(t )
弹性力-ky、惯性力
和荷载P(t)之间的平衡方程为:
一、简谐荷载:
t
m
F
t
A
t
A
q
q
w
q
q
sin
sin
sin
2
2
=
+
-
t
A
y
q
sin
=
m
t
F
y
y
q
w
sin
2
=
+
&
&
t
y
t
m
F
y
st
q
w
q
q
w
q
w
sin
)
1
(
1
sin
)
1
(
2
2
2
2
2
-
=
-
=
单自由度体系强迫
振动的微分方程
特解:
P(t)=Fsinθt
最大静位移yst(是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生
的位移)。
特解可写为:
全解可写为:
设t=0时的初始位移和初始速度均为零,则:
过渡阶段:振动开始两种振动同时存在的阶段;
平稳阶段:后来只按荷载频率振动的阶段。(由于阻尼的存在)
按自振频率振动
按荷载频率振动
平稳阶段:
最大动位移(振幅)为:
动力系数β为:
1
0
2
3
1
2
3
w
q
b
重要的特性:
当θ/ω→0时,β→1,荷载变化得很慢,可当作静荷载处理。
当0< θ/ω<1时,β>1,并且随θ/ω的增大而增大。
当θ/ω→1时,β→∞。即当荷载频率接近于自振频率时,振幅会无限增大。称为“共振”。< θ/ω<。
当θ/ω>1时,β的绝对值随θ/ω
的增大而减小。当θ很大时,荷载变化很快,结构来不及反应。
例4、图示三根单跨梁,EI为常数,在梁中点有集中质量m,
不考虑梁的质量,试比较三者的自振频率。
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
m
m
m
解:1)求δ
P=1
3l/16
5l/32
P=1
l/2
据此可得:ω1׃ω2 ׃ω3= 1 ׃ ׃ 2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
彩虹桥垮塌与年久失修、不当